Горчаковский лицей из 7 в 8 класс 2018 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2018 год}} \end{array} \\[1em] \text{1. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:} \\ \dfrac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} \\[1em] \text{2. Решите систему уравнений тремя различными способами:} \\ x + 3y = 4 \quad \text{и} \quad 2x - y = 1 \\ \text{(a) графически} \\ \text{(b) методом алгебраического сложения} \\ \text{(c) методом подстановки} \\[1em] \text{3. Теплоход 120 км проходит за 5 ч против течения, а 180 км за 6 ч по течению.} \\ \text{Найдите скорость течения и собственную скорость теплохода.} \\[1em] \text{4. Решите уравнение:} \\ \dfrac{3x - 5}{7} + \dfrac{2x + 1}{14} = \dfrac{2x - 3}{2} \\[1em] \text{5. Сократите дробь:} \\ \dfrac{3xy - 2x - 3y + 2}{x^2 - 2x + 1} \\[1em] \text{6. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM, при этом AM = MB.} \\ \text{Известно, что угол B равен } 23^\circ. \text{ Найдите угол BAC.} \\[1em] \text{7. Укажите, какие утверждения верны (с обоснованием):} \\ \text{(a) Любые три различные прямые проходят через одну точку.} \\ \text{(b) Если угол равен } 47^\circ, \text{ то смежный с ним равен } 133^\circ. \\ \text{(c) В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой.} \\ \text{(d) Если при пересечении двух прямых третьей сумма накрест лежащих углов равна } 180^\circ, \\ \text{то прямые параллельны.} \\[1em] \text{8. Задача о пиратах:} \\ \text{Сначала первый отдал половину монет второму.} \\ \text{Затем второй отдал половину своих монет первому.} \\ \text{Потом снова первый отдал половину своих монет второму.} \\ \text{В конце у первого стало 15 монет, у второго — 33.} \\ \text{Сколько монет было у каждого пирата в начале? Обоснуйте.} \end{array} $$

Решения задач

1. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: $\frac{(-3)^{2} \cdot 15^{3} \cdot(-25)}{5^{4} \cdot 3^{6}} .$
   Решение:
   $\frac{9 \cdot (3 \cdot 5)^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{9 \cdot (-25)}{5 \cdot 3^3} = \frac{-225}{135} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
   Ответ: $-1\frac{2}{3}$.
   
   
2. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}x+3 y=4, \\ 2 x-y=1 .\end{array}\right.$ тремя различными способами:
   1. графически;
      Решение: Построим графики уравнений:
      $x + 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4 - x}{3}$ (прямая с угловым коэффициентом $-\frac{1}{3}$)
      $2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1$ (прямая с угловым коэффициентом $2$)
      Точка пересечения: $(1; 1)$.
      Ответ: $(1; 1)$.
      
      
   2. методом алгебраического сложения;
      Решение:
      Умножим второе уравнение на 3:
      $\begin{cases} x + 3y = 4 \\ 6x - 3y = 3 \end{cases}$
      Сложим уравнения:
      $7x = 7 \Rightarrow x = 1$
      Подставим в первое уравнение:
      $1 + 3y = 4 \Rightarrow y = 1$
      Ответ: $(1; 1)$.
      
      
   3. методом подстановки.
      Решение:
      Из первого уравнения: $x = 4 - 3y$
      Подставим во второе уравнение:
      $2(4 - 3y) - y = 1 \Rightarrow 8 - 6y - y = 1 \Rightarrow -7y = -7 \Rightarrow y = 1$
      Тогда $x = 4 - 3 \cdot 1 = 1$
      Ответ: $(1; 1)$.
   
   
   
3. Теплоход 120 км проходит за 5 ч против течения реки и 180 км за 6 ч по течению. Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода.
   Решение:
   Пусть собственная скорость теплохода $v$ км/ч, скорость течения $u$ км/ч.
   Против течения: $v - u = \frac{120}{5} = 24$ км/ч
   По течению: $v + u = \frac{180}{6} = 30$ км/ч
   Решим систему:
   $\begin{cases} v - u = 24 \\ v + u = 30 \end{cases}$
   Сложим уравнения: $2v = 54 \Rightarrow v = 27$ км/ч
   Тогда $u = 30 - 27 = 3$ км/ч
   Ответ: скорость течения 3 км/ч, собственная скорость 27 км/ч.
   
   
4. Решите уравнение: $\frac{3 x-5}{7}+\frac{2 x+1}{14}=\frac{2 x-3}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части на 14:
   $2(3x - 5) + (2x + 1) = 7(2x - 3)$
   $6x - 10 + 2x + 1 = 14x - 21$
   $8x - 9 = 14x - 21$
   $-6x = -12 \Rightarrow x = 2$
   Ответ: 2.
   
   
5. Сократите дробь: $\frac{3 x y-2 x-3 y+2}{x^{2}-2 x+1}$.
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель:
   Числитель: $3xy - 2x - 3y + 2 = x(3y - 2) - 1(3y - 2) = (x - 1)(3y - 2)$
   Знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
   Дробь: $\frac{(x - 1)(3y - 2)}{(x - 1)^2} = \frac{3y - 2}{x - 1}$
   Ответ: $\frac{3y - 2}{x - 1}$.
   
   
6. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A M$, причем $A M=M B$. Известно, что угол $B$ равен $23^{\circ} .$ Найдите угол $B A C$.
   Решение:
   Треугольник $AMB$ равнобедренный ($AM = MB$), значит $\angle ABM = \angle BAM = 23^{\circ}$.
   Так как $AM$ — биссектриса, $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAM = 2 \cdot 23^{\circ} = 46^{\circ}$.
   Ответ: $46^{\circ}$.
   
   
7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
   1. Неверно. Три различные прямые могут не пересекаться в одной точке (например, параллельные или пересекающиеся попарно в разных точках).
   2. Верно. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, поэтому $180^{\circ} - 47^{\circ} = 133^{\circ}$.
   3. Верно только для высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. В общем случае утверждение неверно.
   4. Неверно. Если сумма внутренних накрест лежащих углов равна $180^{\circ}$, то прямые не параллельны (параллельность требует равенства соответственных углов).
   
   
   
8. Два пирата играли с золотыми монетами. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму. Потом второй проиграл половину своих монет и отдал их первому. А затем снова проиграл первый половину своих монет и отдал их второму. В результате этой игры у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. Сколько монет было у каждого пирата в начале игры?
   Решение:
   Решим задачу с конца:
   После третьего хода: первый — 15, второй — 33.
   Перед третьим ходом: первый имел 30 (отдал 15), второй — 18 (33 - 15).
   Перед вторым ходом: второй имел 36 (отдал 18), первый — 12 (30 - 18).
   Перед первым ходом: первый имел 24 (отдал 12), второй — 24 (36 - 12).
   Ответ: у первого было 24 монеты, у второго — 24 монеты.