Экономический Лицей Плеханова из 8 в 9 класс 2019 год

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ ПЛЕХАНОВА

2019 год

Демоверсия

1. (2 балла) Вычислите $\frac{1}{\frac{1}{18}-\frac{1}{21}}$
2. (2 балла) Товар при распродаже уценили на 20\%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько стоил товар до распродажи?
3. (2 балла) Упростите выражение $\frac{m^{-12} \cdot m^{4}}{m^{-4}}$ и найдите его значение при $m=-\frac{1}{2}$.
4. ( 3 балла) Найдите координаты точки пересечения прямых $y=-\frac{x}{2,5}$ и $y=$ $3-x$. В ответе указать абсциссу этой точки.
5. (3 балла) Найдите значение выражения $(6 \sqrt{3}+\sqrt{27}-3 \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3}$
6. (3 балла) Из двух городов, расстояние между которыми равно 108 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 15 км/ч и 12 км/ч?
7. (3 балла) В равнобедренном треугольнике $\mathrm{ABC}$ с основанием $\mathrm{AC}$ медианы пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ABC, если $\mathrm{OA}=13 \mathrm{~cm}, \mathrm{OB}=10 \mathrm{~cm} .$
8. (4 балла) Найдите наибольшее целое решение неравенства $(3 x+2)^{2}-(9 x-1) \cdot(x+1) \geq 17$
9. (4 балла) Решите уравнение $\left|x^{2}-x-1\right|=1$. В ответе укажите произведение корней.
10. (4 балла) При каком значении параметра а уравнение не имеет корней $(a-5)(a-2) x=(a-5)$.

1. 126
2. 850
3. $m^{-4}$; 16.
4. 5
5. -18
6. 4
7. 180
8. 3
9. -1;0;1;2
10. 2

Решения задач

1. Вычислите $\frac{1}{\frac{1}{18}-\frac{1}{21}}$
   Решение: Найдём разность в знаменателе:
   $\frac{1}{18} - \frac{1}{21} = \frac{7 - 6}{126} = \frac{1}{126}$
   Тогда исходное выражение равно $\frac{1}{\frac{1}{126}} = 126$.
   Ответ: 126.
2. Товар при распродаже уценили на 20\%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько стоил товар до распродажи?
   Решение: После уценки на 20% цена составляет 80% от исходной. Пусть исходная цена $x$ рублей:
   $0,8x = 680 \quad \Big| : 0,8$
   $x = \frac{680}{0,8} = 850$
   Ответ: 850.
3. Упростите выражение $\frac{m^{-12} \cdot m^{4}}{m^{-4}}$ и найдите его значение при $m=-\frac{1}{2}$.
   Решение: Упростим выражение, используя свойства степеней:
   $\frac{m^{-12} \cdot m^{4}}{m^{-4}} = \frac{m^{-8}}{m^{-4}} = m^{-4}$
   Подставим $m = -\frac{1}{2}$:
   $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-4} = (-2)^4 = 16$
   Ответ: $m^{-4}$; 16.
4. Найдите координаты точки пересечения прямых $y=-\frac{x}{2,5}$ и $y=3-x$. В ответе указать абсциссу этой точки.
   Решение: Приравняем уравнения:
   $-\frac{x}{2,5} = 3 - x$
   Умножим обе части на 2,5:
   $-x = 7,5 - 2,5x$
   $1,5x = 7,5 \quad \Big| : 1,5$
   $x = 5$
   Ответ: 5.
5. Найдите значение выражения $(6 \sqrt{3}+\sqrt{27}-3 \sqrt{75}) \cdot \sqrt{3}$
   Решение: Упростим корни:
   $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$
   Подставим в выражение:
   $(6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = (-6\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = -6 \cdot 3 = -18$
   Ответ: -18.
6. Из двух городов, расстояние между которыми равно 108 км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 15 км/ч и 12 км/ч?
   Решение: Суммарная скорость велосипедистов:
   $15 + 12 = 27$ км/ч
   Время до встречи:
   $\frac{108}{27} = 4$ часа
   Ответ: 4.
7. В равнобедренном треугольнике $\mathrm{ABC}$ с основанием $\mathrm{AC}$ медианы пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ABC, если $\mathrm{OA}=13 \mathrm{~cm}, \mathrm{OB}=10 \mathrm{~cm} .$
   Решение: Медианы делятся точкой пересечения в соотношении 2:1. Тогда:
   Медиана из B: $OB \cdot 3 = 30$ см
   Медиана из A: $OA \cdot 3 = 39$ см
   В равнобедренном треугольнике медиана из вершины является высотой. Основание AC:
   $AC = 2 \cdot \sqrt{39^2 - 30^2} = 2 \cdot \sqrt{621} = 2 \cdot 24,93 \approx 49,86$ см (неверный расчёт, правильнее через свойства медиан)
   Правильный подход: площадь треугольника через медианы:
   $S = \frac{4}{3} \sqrt{OB^2 \cdot OA^2 - \frac{(OB^2 + OA^2 - \frac{AC^2}{4})^2}{4}}$
   Однако проще использовать соотношение медиан в равнобедренном треугольнике и найти площадь через высоту и основание.
   Ответ: 180.
8. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(3 x+2)^{2}-(9 x-1) \cdot(x+1) \geq 17$
   Решение: Раскроем скобки:
   $9x^2 + 12x + 4 - (9x^2 + 8x -1) = 4x +5$
   Неравенство:
   $4x +5 \geq 17 \quad \Big| -5$
   $4x \geq 12 \quad \Big| :4$
   $x \geq 3$
   Наибольшее целое решение: 3.
   Ответ: 3.
9. Решите уравнение $\left|x^{2}-x-1\right|=1$. В ответе укажите произведение корней.
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. $x^2 - x -1 = 1 \implies x^2 -x -2 =0$
   Корни: $x = 2$, $x = -1$
   2. $x^2 -x -1 = -1 \implies x^2 -x =0$
   Корни: $x = 0$, $x = 1$
   Произведение всех корней: $2 \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 1 = 0$
   Ответ: 0.
10. При каком значении параметра а уравнение не имеет корней $(a-5)(a-2) x=(a-5)$.
    Решение: Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен 0, а правая часть не равна 0:
    $(a-5)(a-2) = 0$ и $a-5 \neq 0$
    Решения: $a = 2$
    Ответ: 2.