Экономический Лицей Плеханова из 7 в 8 класс 2019 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ ПЛЕХАНОВА}} \\[0.3em] \large{\text{2019 год}} \end{array} \\[1em] \text{1. (2 балла) Найдите значение выражения:} \quad 4\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{2} \cdot 7.5 \\[1em] \text{2. (2 балла) Приведите многочлен к стандартному виду:} \quad 8m - 2m \cdot (4 + 3m \cdot (2 - m)) \\[1em] \text{3. (2 балла) Найдите значение выражения:} \quad 4^8 \cdot 11^{10} \div 44^8 \\[1em] \text{4. (3 балла) Найдите } a, \text{ при котором:} \\ (2a + 3)(8a - 1) \text{ больше } (5 + 4a)(4a - 5) \text{ на 22} \\[1em] \text{5. (3 балла) Решите уравнение:} \\ \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{8} + x = -\dfrac{29}{6} \\[1em] \text{6. (3 балла) Найдите значение выражения:} \\ \dfrac{(4x - 3y)^2 - (4x + 3y)^2}{4xy} \\[1em] \text{7. (3 балла) Брюки дороже рубашки на 20\%, а пиджак — на 44\%.} \\ \text{На сколько процентов пиджак дороже брюк?} \\[1em] \text{8. (4 балла) На стороне AB квадрата построен равносторонний } \\ \text{треугольник ABM. Найдите угол DMC.} \\[1em] \text{9. (4 балла) Решите уравнение:} \quad \left|\,|x| - 2\,\right| = 10 \\[1em] \text{10. (4 балла) Сплав массой 24 кг содержит 45\% меди.} \\ \text{Сколько кг чистого олова нужно добавить, чтобы в новом сплаве было 40\% меди?} \end{array} $$

Ответы:

1. 23
2. $6m^3-12m^2$
3. 121
4. 0
5. -4
6. -12
7. 20
8. 30
9. 12;-12
10. 3

Решения задач

1. Найдите значение выражения $4 \frac{1}{4}+\frac{5}{2} \cdot 7,5$.
   Решение:
   $4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$; $\frac{5}{2} \cdot 7,5 = \frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2} = \frac{75}{4}$.
   $\frac{17}{4} + \frac{75}{4} = \frac{92}{4} = 23$.
   Ответ: 23.
2. Приведите многочлен к стандартному виду $8 \mathrm{~m}-2 \mathrm{~m} \cdot (4+3 \mathrm{~m} \cdot (2-\mathrm{m}))$.
   Решение:
   $8m - 2m \cdot (4 + 3m \cdot (2 - m)) = 8m - 2m \cdot (4 + 6m - 3m^2) = 8m - 8m - 12m^2 + 6m^3 = 6m^3 - 12m^2$.
   Ответ: $6m^3 - 12m^2$.
3. Найдите значение выражения $4^{8} \cdot 11^{10} : 44^{8}$.
   Решение:
   $44^8 = (4 \cdot 11)^8 = 4^8 \cdot 11^8$.
   $\frac{4^8 \cdot 11^{10}}{4^8 \cdot 11^8} = 11^2 = 121$.
   Ответ: 121.
4. Найти $a$, при котором значение выражения $(2a+3)(8a-1)$ превышает соответствующее значение выражения $(5+4a)(4a-5)$ на 22.
   Решение:
   $(2a+3)(8a-1) - (5+4a)(4a-5) = 22$.
   Раскроем скобки:
   $16a^2 + 22a - 3 - (16a^2 - 25) = 22$.
   $22a + 22 = 22 \implies 22a = 0 \implies a = 0$.
   Ответ: 0.
5. Решите уравнение $\frac{x}{12}+\frac{x}{8}+x=-\frac{29}{6}$.
   Решение:
   Умножим обе части на 24:
   $2x + 3x + 24x = -116 \implies 29x = -116 \implies x = -4$.
   Ответ: $-4$.
6. Найдите значение выражения $\frac{(4x-3y)^2 - (4x+3y)^2}{4xy}$.
   Решение:
   Используем формулу разности квадратов:
   $\frac{(4x-3y - 4x-3y)(4x-3y + 4x+3y)}{4xy} = \frac{(-6y)(8x)}{4xy} = \frac{-48xy}{4xy} = -12$.
   Ответ: $-12$.
7. Брюки дороже рубашки на 20%, а пиджак дороже рубашки на 44%. На сколько процентов пиджак дороже брюк?
   Решение:
   Пусть цена рубашки 100 руб. Тогда брюки стоят 120 руб., пиджак — 144 руб.
   Разница: $144 - 120 = 24$ руб.
   $\frac{24}{120} \cdot 100% = 20\%$.
   Ответ: 20.
8. На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ построен равносторонний треугольник $ABM$. Найдите угол $DMC$.
   Решение:
   Треугольник $ABM$ равносторонний $\implies \angle ABM = 60^{\circ}$.
   Точка $M$ лежит внутри квадрата. Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMC$.
   Угол $DMC$ равен $30^{\circ}$ (свойства симметрии квадрата и равностороннего треугольника).
   Ответ: $30^{\circ}$.
9. Решите уравнение $||x|-2|=10$.
   Решение:
   $|x| - 2 = 10 \implies |x| = 12 \implies x = \pm 12$.
   $|x| - 2 = -10 \implies |x| = -8$ (нет решений).
   Ответ: $\pm 12$.
10. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24 кг, содержащий $45\%$ меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал $40\%$ меди?
    Решение:
    Масса меди: $24 \cdot 0,45 = 10,8$ кг.
    Пусть добавили $x$ кг олова. Новая масса сплава: $24 + x$ кг.
    Уравнение: $10,8 = 0,4(24 + x) \implies 24 + x = 27 \implies x = 3$.
    Ответ: 3.