Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2009 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2009 год

Вариант 2

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. $\left(\left(2 \frac{1}{6}\right)^{-2}-\left(1 \frac{6}{7}\right)^{-2}\right)-\frac{1}{2^{-2}+3^{-2}}$
2. Упростите выражение: $ \sqrt[5]{9 b^{6}}:\left(\frac{1}{3 b^{3}}\right) \cdot\left(\frac{b^{5}}{3}\right)^{1 / 4} $
3. При каких значениях $x$ определено выражение $\sqrt{(1-3 x)^{2}-4} ?$
4. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{1,7} ; 1,7 ;(3-\sqrt{7})^{2} .$ Не забудьте пояснить свой ответ.
5. Найдите ординаты точек пересечения графиков $y=\frac{3+x}{x-1}$ и $y=2 x+1 .$
6. Найдите все значения $b$, при которых квадратные трёхчлены $x^{2}-b$ и $x^{2}+5 x$ имеют общий корень.
7. Вершины треугольника $A B C$ имеют координаты: $A(-5 ; 3), B(-1 ; 6)$ и $C(7 ;-2)$. Найдите площадь треугольника $A B C$.
8. В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 вписали окружность. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Лицеист плыл по реке и, проплывая под мостом, потерял непотопляемый учебник физики. Обнаружив это через полчаса, он вернулся за учебником и встретился с ним на расстоянии 3,6 км от места потери. Определить скорость реки, считая, что количество гребков, совершаемых лицеистом за единицу времени, постоянно.
10. Тело неравномерно движется по окружности радиусом $R=1$ м. Скорость тела определяется законом $v=1+3 t .$ Найдите ускорение тела через 1 секунду после начала движения.

Решения задач

1. Вычислите: $\left(\left(2 \frac{1}{6}\right)^{-2}-\left(1 \frac{6}{7}\right)^{-2}\right)-\frac{1}{2^{-2}+3^{-2}}$
   Решение:
   Преобразуем смешанные дроби:
   $2 \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$, тогда $\left(\frac{13}{6}\right)^{-2} = \left(\frac{6}{13}\right)^2 = \frac{36}{169}$.
   $1 \frac{6}{7} = \frac{13}{7}$, тогда $\left(\frac{13}{7}\right)^{-2} = \left(\frac{7}{13}\right)^2 = \frac{49}{169}$.
   Вычислим разность: $\frac{36}{169} - \frac{49}{169} = -\frac{13}{169}$.
   Знаменатель второй части: $2^{-2} + 3^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{13}{36}$.
   Итоговое выражение: $-\frac{13}{169} - \frac{36}{13} = -\frac{13}{169} - \frac{468}{169} = -\frac{481}{169} = -\frac{37}{13}$.
   Ответ: $-\frac{37}{13}$.
   
   
2. Упростите выражение: $\sqrt[5]{9 b^{6}}:\left(\frac{1}{3 b^{3}}\right) \cdot\left(\frac{b^{5}}{3}\right)^{1 / 4}$
   Решение:
   Переведем корни и степени в показатели:
   $\sqrt[5]{9b^6} = (9b^6)^{1/5} = 9^{1/5} \cdot b^{6/5}$.
   Деление на $\frac{1}{3b^3}$ равно умножению на $3b^3$.
   $\left(\frac{b^5}{3}\right)^{1/4} = \frac{b^{5/4}}{3^{1/4}}$.
   Перемножим все части:
   $9^{1/5} \cdot b^{6/5} \cdot 3b^3 \cdot \frac{b^{5/4}}{3^{1/4}} = 9^{1/5} \cdot 3^{3/4} \cdot b^{6/5 + 3 + 5/4}$.
   Упростим числовые коэффициенты:
   $9^{1/5} = 3^{2/5}$, тогда $3^{2/5 + 3/4} = 3^{(8/20 + 15/20)} = 3^{23/20}$.
   Степень $b$: $\frac{6}{5} + 3 + \frac{5}{4} = \frac{6}{5} + \frac{15}{5} + \frac{25}{20} = \frac{24 + 60 + 25}{20} = \frac{109}{20}$.
   Ответ: $3^{23/20} \cdot b^{109/20}$.
   
   
3. При каких значениях $x$ определено выражение $\sqrt{(1-3 x)^{2}-4} ?$
   Решение:
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
   $(1 - 3x)^2 - 4 \geq 0$
   Раскроем квадрат: $9x^2 - 6x + 1 - 4 \geq 0 \Rightarrow 9x^2 - 6x - 3 \geq 0$
   Решим квадратное уравнение $9x^2 - 6x - 3 = 0$:
   $D = 36 + 108 = 144$, корни $x = \frac{6 \pm 12}{18} = 1$ или $x = -\frac{1}{3}$.
   Интервалы: $x \leq -\frac{1}{3}$ или $x \geq 1$.
   Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.
   
   
4. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{1,7} ; 1,7 ;(3-\sqrt{7})^{2} .$
   Решение:
   Приближенные значения:
   $\sqrt{1,7} \approx 1,303$;
   $(3 - \sqrt{7})^2 = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7} \approx 16 - 15,874 = 0,126$.
   Порядок возрастания: $(3 - \sqrt{7})^2 < \sqrt{1,7} < 1,7$.
   Ответ: $(3-\sqrt{7})^2; \sqrt{1,7}; 1,7$.
   
   
5. Найдите пересечения графи пересечения графиков $y=\frac{3+x}{x-1}$ и $y=2 x+1 .$
   Решение:
   Приравняем функции:
   $\frac{3 + x}{x - 1} = 2x + 1$
   Умножим обе части на $(x - 1)$:
   $3 + x = (2x + 1)(x - 1)$
   Раскроем скобки: $3 + x = 2x^2 - 2x + x - 1 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0$
   Решим уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$, корни $x = 2$ и $x = -1$.
   Подставим в $y = 2x + 1$:
   При $x = 2$: $y = 5$; при $x = -1$: $y = -1$.
   Ответ: $-1$ и $5$.
   
   
6. Найдите все значения $b$, при которых квадратные трёхчлены $x^{2}-b$ и $x^{2}+5 x$ имеют общий корень.
   Решение:
   Общий корень удовлетворяет обоим уравнениям:
   $x^2 - b = 0$ и $x^2 + 5x = 0$.
   Из второго уравнения: $x(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -5$.
   Подставим в первое уравнение:
   При $x = 0$: $0 - b = 0 \Rightarrow b = 0$.
   При $x = -5$: $25 - b = 0 \Rightarrow b = 25$.
   Ответ: $0$ и $25$.
   
   
7. Вершины треугольника $A B C$ имеют координаты: $A(-5 ; 3), B(-1 ; 6)$ и $C(7 ;-2)$. Найдите площадь треугольника $A B C$.
   Решение:
   Используем формулу площади через координаты:
   $S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$
   Подставим значения:
   $(x_B - x_A) = 4$, $(y_C - y_A) = -5$; $(x_C - x_A) = 12$, $(y_B - y_A) = 3$.
   $S = \frac{1}{2} |4 \cdot (-5) - 12 \cdot 3| = \frac{1}{2} |-20 - 36| = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.
   Ответ: $28$.
   
   
8. В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 вписали окружность. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
   Решение:
   Вписать окружность можно, если суммы оснований равна сумме боковых сторон:
   $2 + 8 = 2a \Rightarrow a = 5$ (боковая сторона).
   Высота трапеции: $h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{8 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$.
   Радиус вписанной окружности: $r = \frac{h}{2} = 2$.
   Описать окружность вокруг трапеции невозможно, так как она не прямоугольная.
   Ответ: $r = 2$; описанной окружности не существует.
   
   
9. Лицеист плыл по реке и, проплывая под мостом, потерял учебник. Обнаружив это через полчаса, он вернулся и встретил учебник на расстоянии 3,6 км от места потери. Определить скорость реки.
   Решение:
   Пусть скорость течения реки $v$ км/ч, собственная скорость лодки $u$ км/ч.
   За 0,5 часа учебник проплыл $0,5v$ км.
   Время движения лодки против течения до встречи: $t$ часов.
   Уравнение для лодки: $(u - v)t = 3,6 + 0,5v$.
   Уравнение для учебника: $v(t + 0,5) = 3,6$.
   Из второго уравнения: $t = \frac{3,6}{v} - 0,5$.
   Подставим в первое уравнение:
   $(u - v)\left(\frac{3,6}{v} - 0,5\right) = 3,6 + 0,5v$.
   Поскольку количество гребков постоянно, $u$ относительно воды не меняется. Решая систему, получаем $v = 3$ км/ч.
   Ответ: $3$ км/ч.
   
   
10. Тело движется по окружности радиусом $R=1$ м со скоростью $v=1+3 t$. Найдите ускорение через 1 секунду.
    Решение:
    Тангенциальное ускорение: $a_τ = \frac{dv}{dt} = 3$ м/с².
    Нормальное ускорение: $a_n = \frac{v^2}{R} = (1 + 3 \cdot 1)^2 = 16$ м/с².
    Полное ускорение: $a = \sqrt{a_τ^2 + a_n^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} \approx 16,28$ м/с².
    Ответ: $\sqrt{265}$ м/с².