Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2008 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2008 год

Вариант 2

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. Вычислите: $ \left(7,84^{2}-12,16^{2}\right)+\left(25,66^{2}-5,66^{2}\right) $
2. Упростите: $ \left(\frac{b^{\frac{2}{3}}-1}{b^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}+b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-1}: \frac{1-\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}} $
3. Решите неравенство: $ \left(\frac{5 x-8}{4}\right)^{2}<\left(\frac{3 x+4}{2}\right)^{2} $
4. Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие второму. $ \begin{aligned} &1:-2 x^{2}-3 x+9 \geqslant 0 \\ &2:(x+3)(2 x-3)>0 \end{aligned} $
5. Шесть метров новой верёвки имеют такую же массу, как и пять метров старой. Найдите массу одного метра новой и старой верёвки в отдельности, если 13 м новой и 12 м старой верёвки вместе весят 5 кг 480 г.
6. Решите уравнение: $ 3 x \sqrt[3]{x^{2}}+2 x \sqrt[6]{\frac{1}{x}}=5 $
7. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{aligned} 1-y &=\frac{4}{x} \\ |2 x-3 y| &=7 \end{aligned}\right. $
8. Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь $ \frac{n^{2}-n+15}{7 n+3} $ правильная и несократимая.
9. Три равные окружности, радиусы которых равны $8 \sqrt{3}$, попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, касающейся этих трёх окружностей.
10. Угол $A B C-$ прямой, $A B=4, B C=3$. Найдите расстояние от точки $B$ до точки $R$, лежащей на биссектрисе прямого угла, если точка $K$ равноудалена от $A$ и $C$.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(7,84^{2}-12,16^{2}\right)+\left(25,66^{2}-5,66^{2}\right)$
   Решение:
   Применим формулу разности квадратов:
   $7,84^{2} - 12,16^{2} = (7,84 - 12,16)(7,84 + 12,16) = (-4,32) \cdot 20 = -86,4$
   $25,66^{2} - 5,66^{2} = (25,66 - 5,66)(25,66 + 5,66) = 20 \cdot 31,32 = 626,4$
   Сумма: $-86,4 + 626,4 = 540$
   Ответ: 540.
2. Упростите: $ \left(\frac{b^{\frac{2}{3}}-1}{b^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}+b^{-\frac{2}{3}}\right)^{-1}: \frac{1-\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}}$
   Решение:
   Упростим первую дробь:
   $\frac{b^{\frac{2}{3} - 1}}{b^{\frac{2}{3} - b^{\frac{1}{3}}}} = \frac{(b^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} + 1)}{b^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - 1)} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + 1}{b^{\frac{1}{3}}}$
   Добавим второе слагаемое:
   $\frac{b^{\frac{1}{3}} + 1}{b^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{2}{3}}} = \frac{b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + 1}{b^{\frac{2}{3}}}$
   Инвертируем и делим:
   $\frac{b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + 1} \cdot \frac{b^{\frac{1}{3}}}{1 - b^{\frac{1}{3}}} = \frac{b}{1 - b}$
   Ответ: $\frac{b}{1 - b}$.
3. Решите неравенство: $ \left(\frac{5 x-8}{4}\right)^{2}<\left(\frac{3 x+4}{2}\right)^{2}$
   Решение:
   Перенесем все влево и разложим по разности квадратов:
   $\left(\frac{5x - 8}{4} - \frac{3x + 4}{2}\right)\left(\frac{5x - 8}{4} + \frac{3x + 4}{2}\right) < 0$
   Упростим скобки:
   $\frac{-x - 16}{4} \cdot \frac{11x}{4} 0$
   Решение: $x \in (-\infty; -16) \cup (0; +\infty)$
   Ответ: $x \in (-\infty; -16) \cup (0; +\infty)$.
4. Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие второму. $ \begin{aligned} &1:-2 x^{2}-3 x+9 \geqslant 0 \\ &2:(x+3)(2 x-3)>0 \end{aligned}$
   Решение:
   Первое неравенство: $-2x^2 - 3x + 9 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; 1,5]$
   Второе неравенство: $(x + 3)(2x - 3) > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -3) \cup (1,5; +\infty)$
   Пересечение: $x \in [-3; 1,5]$, так как эти значения не удовлетворяют второму неравенству.
   Ответ: $x \in [-3; 1,5]$.
5. Шесть метров новой верёвки имеют такую же массу, как и пять метров старой. Найдите массу одного метра новой и старой верёвки в отдельности, если 13 м новой и 12 м старой верёвки вместе весят 5 кг 480 г.
   Решение:
   Пусть масса нового метра $m$ кг, старого $s$ кг:
   $6m = 5s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{6}{5}m$
   $13m + 12s = 5,48 \quad \Rightarrow \quad 13m + 12 \cdot \frac{6}{5}m = 5,48$
   $13m + \frac{72}{5}m = 5,48 \quad \Rightarrow \quad m = 0,2$ кг, $s = 0,24$ кг
   Ответ: 200 г и 240 г.
6. Решите уравнение: $ 3 x \sqrt[3]{x^{2}}+2 x \sqrt[6]{\frac{1}{x}}=5$
   Решение:
   Упростим корни: $3x \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2x \cdot x^{-\frac{1}{6}} = 5$
   $3x^{\frac{5}{3}} + 2x^{\frac{5}{6}} = 5$
   Замена $t = x^{\frac{5}{6}}$: $3t^2 + 2t - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1$
   $x^{\frac{5}{6}} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
   Ответ: $x = 1$.
7. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{aligned} 1-y &=\frac{4}{x} \\ |2 x-3 y| &=7 \end{aligned}\right.$
   Решение:
   Из первого уравнения: $y = 1 - \frac{4}{x}$
   Подставим во второе:
   $|2x - 3(1 - \frac{4}{x})| = 7 \quad \Rightarrow \quad |2x - 3 + \frac{12}{x}| = 7$
   Решаем два случая:
   1) $2x + \frac{12}{x} = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 2$ или $x = 3$
   2) $2x + \frac{12}{x} = -4$ (нет решений)
   Ответ: $(2; -1)$ и $(3; -\frac{1}{3})$.
8. Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь $ \frac{n^{2}-n+15}{7 n+3} $ правильная и несократимая.
   Решение:
   Условие правильности: $n^2 - n + 15 < 7n + 3 \quad \Rightarrow \quad n \in \{3, 4, 5\}$
   Проверка несократимости:
   $n = 4$ и $n = 5$ дают НОД числителя и знаменателя 1.
   Ответ: 4 и 5.
9. Три равные окружности, радиусы которых равны $8 \sqrt{3}$, попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, касающейся этих трёх окружностей.
   Решение:
   Центры исходных окружников образуют равносторонний треугольник со стороной $16\sqrt{3}$. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = 8$.
   Ответ: 8.
10. Угол $A B C-$ прямой, $A B=4, B C=3$. Найдите расстояние от точки $B$ до точки $R$, лежащей на биссектрисе прямого угла, если точка $K$ равноудалена от $A$ и $C$.
    Решение:
    Координаты: $B(0,0)$, $A(0,4)$, $C(3,0)$. Биссектриса: $y = x$. Точка $R(t,t)$.
    Уравнение равенства расстояний: $\sqrt{t^2 + (t - 4)^2} = \sqrt{(t - 3)^2 + t^2} \quad \Rightarrow \quad t = 3,5$
    Расстояние $BR = 3,5\sqrt{2}$
    Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{2}$.