Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2009 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2009 год

Вариант 1

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. Вычислите: $ \frac{0,3}{2^{-2}+5^{-2}}+\left(\left(2 \frac{1}{14}\right)^{-2}-\left(1 \frac{14}{15}\right)^{-2}\right) $
2. Упростите выражение: $ \left(2 a^{1 / 4} \cdot \sqrt{a^{7 / 6} \cdot \frac{1}{32} a^{-2 / 3}}\right)^{-8} $
3. При каких значениях $x$ определено выражение $\sqrt{1-(2 x+3)^{2}} ?$
4. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{0,3} ; 0,3 ;(\sqrt{5}-1)^{2} .$ Не забудьте пояснить свой ответ.
5. Найдите ординаты точек пересечения графиков $y=\frac{5-x}{x-2}$ и $y=x-1$.
6. Найдите все значения $a$, при которых квадратные трёхчлены $x^{2}-4$ и $x^{2}+a x$ имеют общий корень.
7. Вершины треугольника $A B C$ имеют координаты: $A(6 ; 3), B(2 ; 6)$ и $C(8 ;-2)$. Найдите площадь треугольника $A B C$.
8. В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9 вписали окружность. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
9. Лицеист плыл по реке и, проплывая под мостом, потерял непотопляемый учебник физики. Обнаружив это через полчаса, он вернулся за учебником и встретился с ним на расстоянии 3,6 км от места потери. Определить скорость реки, считая, что количество гребков, совершаемых лицеистом за единицу времени, постоянно.
10. Тело неравномерно движется по окружности радиусом $R=1$ м. Скорость тела определяется законом $v=1+3 t$. Найдите ускорение тела через 1 секунду после начала движения.

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{0,3}{2^{-2}+5^{-2}}+\left(\left(2 \frac{1}{14}\right)^{-2}-\left(1 \frac{14}{15}\right)^{-2}\right) $
   Решение:
   Вычислим отдельно каждую часть выражения.
   Первая часть: $\frac{0,3}{2^{-2} + 5^{-2}} = \frac{0,3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{25}} = \frac{0,3}{\frac{25 + 4}{100}} = \frac{0,3 \cdot 100}{29} = \frac{30}{29} \approx 1,0345$.
   Вторая часть: $\left(\frac{29}{14}\right)^{-2} - \left(\frac{29}{15}\right)^{-2} = \left(\frac{14}{29}\right)^2 - \left(\frac{15}{29}\right)^2 = \frac{196 - 225}{841} = \frac{-29}{841} = -\frac{1}{29} \approx -0,0345$.
   Сумма: $\frac{30}{29} - \frac{1}{29} = \frac{29}{29} = 1$.
   Ответ: 1.
   
   
2. Упростите выражение: $ \left(2 a^{1 / 4} \cdot \sqrt{a^{7 / 6} \cdot \frac{1}{32} a^{-2 / 3}}\right)^{-8} $
   Решение:
   Упростим внутреннее выражение:
   $a^{7/6} \cdot \frac{1}{32} \cdot a^{-2/3} = \frac{1}{32} \cdot a^{7/6 - 4/6} = \frac{1}{32} \cdot a^{1/2}$.
   Квадратный корень: $\sqrt{\frac{1}{32} \cdot a^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{32}} \cdot a^{1/4} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \cdot a^{1/4}$.
   Умножаем на $2a^{1/4}$: $2a^{1/4} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}}a^{1/4} = \frac{2}{4\sqrt{2}} \cdot a^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot a^{1/2}$.
   Возводим в степень -8: $\left(\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot a^{1/2}\right)^{-8} = (2\sqrt{2})^8 \cdot a^{-4} = (2^{3/2})^8 \cdot a^{-4} = 2^{12} \cdot a^{-4} = 4096 \cdot a^{-4}$.
   Ответ: $\frac{4096}{a^4}$.
   
   
3. При каких значениях $x$ определено выражение $\sqrt{1-(2 x+3)^{2}} ?$
   Решение:
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
   $1 - (2x + 3)^2 \geq 0$
   $(2x + 3)^2 \leq 1$
   $-1 \leq 2x + 3 \leq 1$
   Вычитаем 3: $-4 \leq 2x \leq -2$
   Делим на 2: $-2 \leq x \leq -1$.
   Ответ: $x \in [-2; -1]$.
   
   
4. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{0,3} ; 0,3 ;(\sqrt{5}-1)^{2} .$
   Решение:
   Вычислим приближенные значения:
   $\sqrt{0,3} \approx 0,547$;
   $0,3$ — исходное значение;
   $(\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 \approx 6 - 4,472 = 1,528$.
   Порядок возрастания: $0,3 < \sqrt{0,3} < (\sqrt{5} - 1)^2$.
   Ответ: $0,3; \sqrt{0,3}; (\sqrt{5}-1)^2$.
   
   
5. Найдите ординаты точек пересечения графиков $y=\frac{5-x}{x-2}$ и $y=x-1$.
   Решение:
   Приравниваем функции:
   $\frac{5 - x}{x - 2} = x - 1$
   Умножаем на $(x - 2)$: $5 - x = (x - 1)(x - 2)$
   Раскрываем правую часть: $5 - x = x^2 - 3x + 2$
   Переносим все влево: $x^2 - 2x - 3 = 0$
   Решаем квадратное уравнение: $D = 4 + 12 = 16$, корни $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
   Находим ординаты:
   При $x = 3$: $y = 3 - 1 = 2$;
   При $x = -1$: $y = -1 - 1 = -2$.
   Ответ: $-2$ и $2$.
   
   
6. Найдите все значения $a$, при которых квадратные трёхчлены $x^{2}-4$ и $x^{2}+a x$ имеют общий корень.
   Решение:
   Общий корень удовлетворяет обоим уравнениям:
   $x^2 - 4 = 0$ ⇒ $x = \pm 2$.
   Подставляем в $x^2 + ax = 0$:
   Для $x = 2$: $4 + 2a = 0$ ⇒ $a = -2$;
   Для $x = -2$: $4 - 2a = 0$ ⇒ $a = 2$.
   Ответ: $a = \pm 2$.
   
   
7. Вершины треугольника $A B C$ имеют координаты: $A(6 ; 3), B(2 ; 6)$ и $C(8 ;-2)$. Найдите площадь треугольника $A B C$.
   Решение:
   Используем формулу площади через координаты:
   $S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
   Подставляем значения:
   $S = \frac{1}{2} |6(6 - (-2)) + 2(-2 - 3) + 8(3 - 6)| = \frac{1}{2} |6 \cdot 8 + 2 \cdot (-5) + 8 \cdot (-3)| = \frac{1}{2} |48 - 10 - 24| = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$.
   Ответ: 7.
   
   
8. В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9 вписали окружность. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
   Решение:
   Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = \frac{a + b}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$ ⇒ $r = \frac{h}{2} = 2,5$.
   Для описанной окружности: центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Так как трапеция равнобедренная, радиус можно найти через диагональ:
   Диагональ: $d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ⇒ $R = \frac{d}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
   Ответ: $r = 2,5$; $R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.
   
   
9. Лицеист плыл по реке и, проплывая под мостом, потерял учебник. Обнаружив это через полчаса, он вернулся за учебником и встретился с ним на расстоянии 3,6 км от места потери. Определить скорость реки.
   Решение:
   Пусть $u$ — скорость реки, $v$ — скорость лицеиста относительно воды.
   За 0,5 часа учебник проплыл $0,5u$ км. Лицеист плыл против течения $0,5(v - u)$ км, затем обратно. Время движения лицеиста до встречи: $t$ часов.
   Уравнение для учебника: $0,5u + u(t + 0,5) = 3,6$.
   Уравнение для лицеиста: $0,5(v - u) + (v + u)t = 3,6 + 0,5(v - u)$.
   Решая систему, получаем $u = 3,6$ км/ч.
   Ответ: 3,6 км/ч.
   
   
10. Тело движется по окружности радиусом $R=1$ м. Скорость тела определяется законом $v=1+3 t$. Найдите ускорение тела через 1 секунду.
    Решение:
    Тангенциальное ускорение: $a_t = \frac{dv}{dt} = 3$ м/с².
    Нормальное ускорение при $t=1$: $a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(1 + 3 \cdot 1)^2}{1} = 16$ м/с².
    Полное ускорение: $a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265}$ м/с².
    Ответ: $\sqrt{265}$ м/с².