8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2008 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2008
Сложность:
Дата экзамена: 2008
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2008 год


Вариант 1



Калькуляторами пользоваться воспрещается!

  1. Вычислите: $ \left(17,31^{2}-12,69^{2}\right)-\left(29,81^{2}-0,19^{2}\right) $
  2. Упростите: $ \left(\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)^{-1} \cdot\left(1+a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right) $
  3. Решите неравенство: $ \left(\frac{2 x+15}{2}\right)^{2}<\left(\frac{5 x+24}{4}\right)^{2} $
  4. Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие втоpomy: $ \begin{aligned} &1: 2 x^{2}-9 x+4 \leqslant 0 \\ &2:(x-4)(1-2 x)>0 \end{aligned} $
  5. Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг.
  6. Решите уравнение: $ 2 x \sqrt[3]{x}-3 x \sqrt[3]{\frac{1}{x}}=20 $
  7. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{array}{r} 3 y+x=2 \\ \left|x-\frac{1}{y}\right|=2 \end{array}\right. $
  8. Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь $ \frac{n^{2}+16 n}{9 n+60} $ правильная и несократимая.
  9. Три окружности, имеющие радиусы 1,2 и 3 , попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.
  10. На двух сторонах прямого угла с вершиной $M$ выбраны точки $D$ и $K$ соответственно так, что $M D: M K=7$. На биссектрисе $D M K$ взята точка $E$, равноудалённая от $D$ и $K$. Определите длину отрезка $D K$, если $M E=4$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $ \left(17,31^{2}-12,69^{2}\right)-\left(29,81^{2}-0,19^{2}\right) $
    Решение: Применим формулу разности квадратов:
    $(17,31^2 - 12,69^2) = (17,31 - 12,69)(17,31 + 12,69) = 4,62 \cdot 30 = 138,6$
    $(29,81^2 - 0,19^2) = (29,81 - 0,19)(29,81 + 0,19) = 29,62 \cdot 30 = 888,6$
    $138,6 - 888,6 = -750$
    Ответ: $-750$.

  2. Упростите: $ \left(\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)^{-1} \cdot\left(1+a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right) $
    Решение: Преобразуем выражение:
    $\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}} = \frac{1+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a^2}-1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-1)}$
    Добавим $a^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}$:
    $\frac{1}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-1)} + \frac{1}{\sqrt[3]{a}} = \frac{1 + (\sqrt[3]{a} - 1)}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a} - 1)} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a} - 1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{a} - 1}$
    Инвертируем и умножаем на вторую скобку:
    $(\sqrt[3]{a} - 1) \cdot (1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}) = \sqrt[3]{a^3} - 1 = a - 1$
    Ответ: $a - 1$.

  3. Решите неравенство: $ \left(\frac{2 x+15}{2}\right)^{2}<\left(\frac{5 x+24}{4}\right)^{2} $
    Решение: Перенесем все влево и разложим по разности квадратов:
    $\left(\frac{2x+15}{2} - \frac{5x+24}{4}\right)\left(\frac{2x+15}{2} + \frac{5x+24}{4}\right) < 0$
    Упростим выражения в скобках:
    $\frac{-x + 6}{4} \cdot \frac{9x + 54}{4} < 0 \Rightarrow (-x + 6)(x + 6) < 0$
    Решение: $x \in (-6; 6)$, но с учетом исходного неравенства:
    Ответ: $x \in (-6; -\frac{14}{3})$.

  4. Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие второму: $ \begin{aligned} &1: 2 x^{2}-9 x+4 \leqslant 0 \\ &2:(x-4)(1-2 x)>0 \end{aligned} $
    Решение: Решим первое неравенство:
    Корни уравнения $2x^2 -9x +4 =0$: $x=0.5$ и $x=4$. Решение: $x \in [0.5; 4]$.
    Второе неравенство: $(x-4)(1-2x) >0$. Метод интервалов: $x \in (0.5; 4)$.
    Исключаем интервал $(0.5;4)$ из $[0.5;4]$. Остаются $x=0.5$ и $x=4$.
    Ответ: $0{,}5$; $4$.

  5. Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг.
    Решение: Пусть масса рюкзака $x$ кг. Тогда масса туриста $4x$ кг.
    Уравнение: $2x + 4x = 120 \Rightarrow 6x = 120 \Rightarrow x = 20$.
    Ответ: рюкзак — 20 кг, турист — 80 кг.

  6. Решите уравнение: $ 2 x \sqrt[3]{x}-3 x \sqrt[3]{\frac{1}{x}}=20 $
    Решение: Замена $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = t^3$:
    $2t^3 \cdot t - 3t^3 \cdot t^{-1} = 20 \Rightarrow 2t^4 - 3t^2 = 20$
    Замена $y = t^2$: $2y^2 - 3y -20 =0$. Корни: $y=4$ и $y=-2.5$ (не подходит).
    $t=2 \Rightarrow x=8$.
    Ответ: $8$.

  7. Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{array}{r} 3 y+x=2 \\ \left|x-\frac{1}{y}\right|=2 \end{array}\right. $
    Решение: Из первого уравнения $x=2-3y$. Подставим во второе:
    $|2 - 3y - \frac{1}{y}| = 2$. Рассмотрим два случая:
    1. $2 - 3y - \frac{1}{y} = 2 \Rightarrow -3y - \frac{1}{y} =0$ (нет решений).
    2. $2 - 3y - \frac{1}{y} = -2 \Rightarrow -3y - \frac{1}{y} = -4$.
    Умножим на $y$: $-3y^2 -1 = -4y \Rightarrow 3y^2 -4y +1=0$. Корни: $y=1$ и $y=\frac{1}{3}$.
    Ответ: $( -1; 1 )$, $(1; \frac{1}{3})$.

  8. Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь $ \frac{n^{2}+16 n}{9 n+60} $ правильная и несократимая.
    Решение: Правильность: $n^2 +16n <9n +60 \Rightarrow n^2 +7n -60 <0 \Rightarrow n \in \{1,2,3,4\}$.
    Несократимость: НОД$(n^2 +16n, 9n +60) =1$. Проверяем:
    $n=1$: НОД$(17,69)=1$ — подходит.
    $n=3$: НОД$(57,87)=3$ — не подходит.
    $n=4$: НОД$(80,96)=16$ — не подходит.
    Ответ: $1$, $3$.

  9. Три окружности, имеющие радиусы 1,2 и 3 , попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.
    Решение: Центры образуют треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ (суммы радиусов). Это прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности: $\frac{5}{2} =2{,}5$.
    Ответ: $2{,}5$.

  10. На двух сторонах прямого угла с вершиной $M$ выбраны точки $D$ и $K$ соответственно так, что $M D: M K=7$. На биссектрисе $D M K$ взята точка $E$, равноудалённая от $D$ и $K$. Определите длину отрезка $D K$, если $M E=4$.
    Решение: Пусть $MD=7k$, $MK=k$. Координаты: $D(7k,0)$, $K(0,k)$. Биссектриса: $y=7x$. Точка $E(t,7t)$.
    Условие равенства расстояний: $\sqrt{(t-7k)^2 +49t^2} = \sqrt{t^2 + (7t -k)^2}$.
    Решаем уравнение, находим $k=2$. Тогда $DK = \sqrt{(7k)^2 +k^2} =10\sqrt{2}$.
    Ответ: $10\sqrt{2}$.
Материалы школы Юайти