Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2008 год вариант 1
Печать
youit.school ©
АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)
2008 год
Вариант 1
Калькуляторами пользоваться воспрещается!
- Вычислите: $ \left(17,31^{2}-12,69^{2}\right)-\left(29,81^{2}-0,19^{2}\right) $
- Упростите: $ \left(\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)^{-1} \cdot\left(1+a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right) $
- Решите неравенство: $ \left(\frac{2 x+15}{2}\right)^{2}<\left(\frac{5 x+24}{4}\right)^{2} $
- Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие втоpomy: $ \begin{aligned} &1: 2 x^{2}-9 x+4 \leqslant 0 \\ &2:(x-4)(1-2 x)>0 \end{aligned} $
- Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг.
- Решите уравнение: $ 2 x \sqrt[3]{x}-3 x \sqrt[3]{\frac{1}{x}}=20 $
- Решите систему уравнений: $ \left\{\begin{array}{r} 3 y+x=2 \\ \left|x-\frac{1}{y}\right|=2 \end{array}\right. $
- Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь $ \frac{n^{2}+16 n}{9 n+60} $ правильная и несократимая.
- Три окружности, имеющие радиусы 1,2 и 3 , попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.
- На двух сторонах прямого угла с вершиной $M$ выбраны точки $D$ и $K$ соответственно так, что $M D: M K=7$. На биссектрисе $D M K$ взята точка $E$, равноудалённая от $D$ и $K$. Определите длину отрезка $D K$, если $M E=4$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
$
\left(17,31^{2}-12,69^{2}\right)-\left(29,81^{2}-0,19^{2}\right)
$
Решение: Применим формулу разности квадратов:
$(17,31^2 - 12,69^2) = (17,31 - 12,69)(17,31 + 12,69) = 4,62 \cdot 30 = 138,6$
$(29,81^2 - 0,19^2) = (29,81 - 0,19)(29,81 + 0,19) = 29,62 \cdot 30 = 888,6$
$138,6 - 888,6 = -750$
Ответ: $-750$.
- Упростите:
$
\left(\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}}+a^{-\frac{1}{3}}\right)^{-1} \cdot\left(1+a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)
$
Решение: Преобразуем выражение:
$\frac{1+\sqrt[3]{a}}{a-\sqrt[3]{a}} = \frac{1+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a^2}-1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-1)}$
Добавим $a^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-1)} + \frac{1}{\sqrt[3]{a}} = \frac{1 + (\sqrt[3]{a} - 1)}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a} - 1)} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a} - 1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{a} - 1}$
Инвертируем и умножаем на вторую скобку:
$(\sqrt[3]{a} - 1) \cdot (1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2}) = \sqrt[3]{a^3} - 1 = a - 1$
Ответ: $a - 1$.
- Решите неравенство:
$
\left(\frac{2 x+15}{2}\right)^{2}<\left(\frac{5 x+24}{4}\right)^{2}
$
Решение: Перенесем все влево и разложим по разности квадратов:
$\left(\frac{2x+15}{2} - \frac{5x+24}{4}\right)\left(\frac{2x+15}{2} + \frac{5x+24}{4}\right) < 0$
Упростим выражения в скобках:
$\frac{-x + 6}{4} \cdot \frac{9x + 54}{4} < 0 \Rightarrow (-x + 6)(x + 6) < 0$
Решение: $x \in (-6; 6)$, но с учетом исходного неравенства:
Ответ: $x \in (-6; -\frac{14}{3})$.
- Среди всех $x$, удовлетворяющих первому неравенству, найти все, не удовлетворяющие второму:
$
\begin{aligned}
&1: 2 x^{2}-9 x+4 \leqslant 0 \\
&2:(x-4)(1-2 x)>0
\end{aligned}
$
Решение: Решим первое неравенство:
Корни уравнения $2x^2 -9x +4 =0$: $x=0.5$ и $x=4$. Решение: $x \in [0.5; 4]$.
Второе неравенство: $(x-4)(1-2x) >0$. Метод интервалов: $x \in (0.5; 4)$.
Исключаем интервал $(0.5;4)$ из $[0.5;4]$. Остаются $x=0.5$ и $x=4$.
Ответ: $0{,}5$; $4$.
- Масса туриста с рюкзаком в 5 раз больше массы одного рюкзака. Определите массы рюкзака и туриста в отдельности, если сумма масс двух рюкзаков и массы туриста равна 120 кг.
Решение: Пусть масса рюкзака $x$ кг. Тогда масса туриста $4x$ кг.
Уравнение: $2x + 4x = 120 \Rightarrow 6x = 120 \Rightarrow x = 20$.
Ответ: рюкзак — 20 кг, турист — 80 кг.
- Решите уравнение:
$
2 x \sqrt[3]{x}-3 x \sqrt[3]{\frac{1}{x}}=20
$
Решение: Замена $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = t^3$:
$2t^3 \cdot t - 3t^3 \cdot t^{-1} = 20 \Rightarrow 2t^4 - 3t^2 = 20$
Замена $y = t^2$: $2y^2 - 3y -20 =0$. Корни: $y=4$ и $y=-2.5$ (не подходит).
$t=2 \Rightarrow x=8$.
Ответ: $8$.
- Решите систему уравнений:
$
\left\{\begin{array}{r}
3 y+x=2 \\
\left|x-\frac{1}{y}\right|=2
\end{array}\right.
$
Решение: Из первого уравнения $x=2-3y$. Подставим во второе:
$|2 - 3y - \frac{1}{y}| = 2$. Рассмотрим два случая:
1. $2 - 3y - \frac{1}{y} = 2 \Rightarrow -3y - \frac{1}{y} =0$ (нет решений).
2. $2 - 3y - \frac{1}{y} = -2 \Rightarrow -3y - \frac{1}{y} = -4$.
Умножим на $y$: $-3y^2 -1 = -4y \Rightarrow 3y^2 -4y +1=0$. Корни: $y=1$ и $y=\frac{1}{3}$.
Ответ: $( -1; 1 )$, $(1; \frac{1}{3})$.
- Найдите все такие натуральные $n$ при которых дробь
$
\frac{n^{2}+16 n}{9 n+60}
$
правильная и несократимая.
Решение: Правильность: $n^2 +16n <9n +60 \Rightarrow n^2 +7n -60 <0 \Rightarrow n \in \{1,2,3,4\}$.
Несократимость: НОД$(n^2 +16n, 9n +60) =1$. Проверяем:
$n=1$: НОД$(17,69)=1$ — подходит.
$n=3$: НОД$(57,87)=3$ — не подходит.
$n=4$: НОД$(80,96)=16$ — не подходит.
Ответ: $1$, $3$.
- Три окружности, имеющие радиусы 1,2 и 3 , попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через центры данных окружностей.
Решение: Центры образуют треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ (суммы радиусов). Это прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности: $\frac{5}{2} =2{,}5$.
Ответ: $2{,}5$.
- На двух сторонах прямого угла с вершиной $M$ выбраны точки $D$ и $K$ соответственно так, что $M D: M K=7$. На биссектрисе $D M K$ взята точка $E$, равноудалённая от $D$ и $K$. Определите длину отрезка $D K$, если $M E=4$.
Решение: Пусть $MD=7k$, $MK=k$. Координаты: $D(7k,0)$, $K(0,k)$. Биссектриса: $y=7x$. Точка $E(t,7t)$.
Условие равенства расстояний: $\sqrt{(t-7k)^2 +49t^2} = \sqrt{t^2 + (7t -k)^2}$.
Решаем уравнение, находим $k=2$. Тогда $DK = \sqrt{(7k)^2 +k^2} =10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$.
Материалы школы Юайти