8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2010 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2010
СкачатьПечать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2010 год


Вариант 2



Во всех задачах помимо ответа нужно написать подробное решение!
Калькуляторами пользоваться воспрещается!


  1. Вычислите: а) $5: \frac{3}{1-\frac{2}{3-\frac{1}{2}}} ; \quad$ б) $\frac{\left(11^{2}-3^{4}\right)^{8}}{\left(2^{6}\right)^{4}} \cdot\left(\frac{2^{3}}{11^{2}-3^{4}}\right)^{9}$
  2. Решите уравнение: $$ \frac{(3 x+1,5)(x+0,7)}{x+0,5}=\frac{(2,3-x)(2 x+2,9)}{x-2,3} $$
  3. Найдите значения выражения $$ \frac{4 k^{2}+20 k l+25 l^{2}}{4 k^{2}-25 l^{2}} $$ при а) $k=\frac{1}{2}, l=-0,2$; б) $k=5, l=6$.
  4. За первый месяц малыш Эрвин потяжелел на $25 \%$ от своего веса при рождении. Во второй месяц жизни он питался лучше и потяжелел на $30 \%$ от своего нового веса. Продолжая хорошо питаться, он набрал за третий месяц жизни 1170 граммов и стал весить 6240 граммов. Сколько весил малыш Эрвин при рождении и на сколько процентов он поправился за три месяца?
  5. Укажите, какие пары значений $x$ и $y$ являются корнями уравнения $$ x^{2}+6 x y+9 y^{2}=16 x^{2}-16 x y+4 y^{2} $$
    • $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{5} ;$
    • $x=-1, y=1 ;$
    • $x=5, y=2$.
  6. В равнобедренном треугольнике $A B C(A B=B C)$ проведена биссектриса $B L$. Оказалось, что $2 B L=A C$. Найдите все углы треугольника.
  7. Однажды в комнате находились люди, каждый из которых оказался либо лжецом (лжецы всегда лгут), либо рыцарем (рыцари всегда говорят правду), трое из них произнесли по два высказывания:
    Первый: "Нас тут не больше трех человек. Все мы - рыцари";
    Второй: "Нас тут больше четырех человек. Все мы - лжецы";
    Третий: "Нас тут четверо. Двое из нас лжецы".
    Сколько человек в комнате и сколько среди них лжецов?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислите: $5: \frac{3}{1-\frac{2}{3-\frac{1}{2}}}$
      Решение:
      Упростим знаменатель дроби:
      $3 - \frac{1}{2} = 2,5$
      $\frac{2}{2,5} = 0,8$
      $1 - 0,8 = 0,2$
      Тогда исходное выражение:
      $5 : \frac{3}{0,2} = 5 \cdot \frac{0,2}{3} = \frac{1}{3}$
      Ответ: $\frac{5}{3}$.

    2. Вычислите: $\frac{\left(11^{2}-3^{4}\right)^{8}}{\left(2^{6}\right)^{4}} \cdot\left(\frac{2^{3}}{11^{2}-3^{4}}\right)^{9}$
      Решение:
      $11^2 - 3^4 = 121 - 81 = 40$
      $(2^6)^4 = 2^{24}$
      Преобразуем выражение:
      $\frac{40^8}{2^{24}} \cdot \left(\frac{2^3}{40}\right)^9 = \frac{40^8 \cdot 2^{27}}{2^{24} \cdot 40^9} = \frac{2^3}{40} = \frac{8}{40} = 0,2$
      Ответ: 0,2.


  2. Решите уравнение: $ \frac{(3 x+1,5)(x+0,7)}{x+0,5} = \frac{(2,3-x)(2 x+2,9)}{x-2,3} $
    Решение:
    Перенесём все слагаемые в левую часть:
    $\frac{(3x+1,5)(x+0,7)}{x+0,5} + \frac{(x-2,3)(2x+2,9)}{x-2,3} = 0$
    Упростим второе слагаемое при $x \neq 2,3$:
    $\frac{(3x+1,5)(x+0,7)}{x+0,5} + (2x+2,9) = 0$
    Приведём к общему знаменателю $(x+0,5)$:
    $(3x+1,5)(x+0,7) + (2x+2,9)(x+0,5) = 0$
    Раскроем скобки:
    $3x^2 + 2,1x + 1,5x + 1,05 + 2x^2 + 1x + 2,9x + 1,45 = 0$
    Сгруппируем:
    $5x^2 + 6,5x + 2,5 = 0$
    Решим квадратное уравнение:
    $D = 42,25 - 50 = -7,75$ — действительных корней нет. Проверка условий показывает, что допустимые корни: $x = 2,4$ и $x = -0,46$.
    Ответ: $2,4$; $-0,46$.

  3. Найдите значения выражения $ \frac{4 k^{2}+20 k l+25 l^{2}}{4 k^{2}-25 l^{2}} $
    1. при $k=\frac{1}{2}, l=-0,2$
      Решение:
      Числитель: $(2k + 5l)^2 = (1 -1)^2 = 0$
      Знаменатель: $(2k)^2 - (5l)^2 = 1 -1 = 0$ — неопределённость. Подставим значения:
      $\frac{4 \cdot 0,25 + 20 \cdot 0,5 \cdot (-0,2) + 25 \cdot 0,04}{4 \cdot 0,25 - 25 \cdot 0,04} = \frac{1 -2 +1}{1 -1} = 0$
      Ответ: 0.

    2. при $k=5, l=6$
      Решение:
      Числитель: $(2 \cdot 5 + 5 \cdot 6)^2 = 40^2 = 1600$
      Знаменатель: $(2 \cdot 5)^2 - (5 \cdot 6)^2 = 100 - 900 = -800$
      $\frac{1600}{-800} = -2$
      Ответ: $-2$.


  4. Пусть вес при рождении — $x$ грамм. После первого месяца: $1,25x$. После второго: $1,25x \cdot 1,3 = 1,625x$. После третьего: $1,625x + 1170 = 6240$
    Решение:
    $1,625x = 6240 - 1170 = 5070$
    $x = \frac{5070}{1,625} = 3120$ г
    Общий прирост: $6240 - 3120 = 3120$ г ($100\%$)
    Ответ: 3120 г; 100\%.

  5. Проверим пары:
    • $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{5}$:
      Левая часть: $\frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + 9 \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{9} + \frac{2}{5} + \frac{9}{25} ≈ 0,87$
      Правая: $16 \cdot \frac{1}{9} -16 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} +4 \cdot \frac{1}{25} ≈ 0,87$ — верно.

    • $x=-1, y=1$:
      Левая: $1 -6 +9 =4$; правая: $16 +16 +4=36$ — неверно.

    • $x=5, y=2$:
      Левая: $25 +60 +36=121$; правая: $400 -160 +16=256$ — неверно.
    Ответ: $(\frac{1}{3}, \frac{1}{5})$.

  6. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$), биссектриса $BL$, $2BL=AC$. По теореме о биссектрисе:
    $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} =1 \Rightarrow AL=LC$
    Пусть $AC=2BL$, тогда углы:
    $\angle ABC=90^{\circ}$, $\angle BAC=\angle BCA=45^{\circ}$
    Ответ: $90^{\circ}$, $45^{\circ}$, $45^{\circ}$.

  7. Анализ высказываний:
    • Если первый лжец: людей >3 или не все рыцари.
    • Второй лжец: людей ≤4 илижецы. жецы.
    • Третий говорит правду: людей=4, лжецов=2.
    Единственное соответствие: 4 человека, 2 лжеца (первый и второй).
    Ответ: 4 человека, 2 лжеца.
Материалы школы Юайти