Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2019 год

Вариант 2

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. Вычислите: $ \frac{18^{6} \cdot 6^{4}}{108^{5}}:\left(2,6-1 \frac{2}{3}\right) $
2. Упростите выражение: $ \left(\frac{4 a^{2}+4 a b+b^{2}}{4 a^{2}-b^{2}}-\frac{a^{2}}{2 a^{2}-a b}\right): \frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{b-2 a} $ и вычислите значение выражения при а) $a=\frac{1}{2}, b=\frac{4}{3} ;$ б) $a=1 ; b=2$.
3. Решите уравнение: $ \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}=\frac{4 x}{x-7} $
4. Ребенок Эрвин иногда ходит, но чаще все же бегает. Обычно он бежит от метро до дома, но в прошлый вторник был очень задумчив вечером, поэтому шел пешком со скоростью 4 км/ч. В итоге от метро до дома он добирался на 15 минут дольше, чем обы чно. Найдите расстояние от метро до дома, если ребенок Эрвин бегает в 2,25 раза быстрее, чем ходит.
5. Учитель Аничкова лицея провел сразу несколько контрольных работ в нескольких классах, и в итоге вечером ему предстояло проверить большую стопку работ. Сначала он проверил треть всех работ и решил выпить чаю. Потом он проверил $40 \%$ оставшихся работ и понял, что надо перекусить оладушками. После оладушек он проверил еще 23 работы и стал смотреть сериальчик. Сколько изначально было работ, если после сериальчика он проверил оставшиеся $25 ?$
6. В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ продлили катет $B C$ за точку $C$ до точки $D$, так что $B C=C D$. После этого выбрали точку $R$ на прямой $A D$ так, что $B R \| A C . И$ в полу чившемся треугольнике $A B R$ провели биссектрису $B K .$ Известно, что $\angle A D C=36^{\circ} .$ Найдите: а) $\angle A B C ;$ б) $\angle B R A ;$ в) $\angle B K A .$
7. В саду у Ушки растут вламы и карцы (очень красивые, к слову, цветы). Они растут в ее саду уже не один год и за это время так сблизились, что стали зависеть друга от друга: - каждый раз, когда пропадает одна влама, вырастает два карца; - каждый раз, когда вырастает один карц, вырастает также и одна влама. В понедельник Ушка решила, что хочет завтракать и смотреть на свои цветы в вазе, поэтому сорвала и поставила на стол один цветок вламы. Во вторник, среду, четверг и пятницу она также срывала по одному цветку влама и добавляла их в букет. В субботу утром она решила сорвать один цветок карца, а после пересчитала свои цветы. Оказалось, что в субботу днем в ее саду росло 25 влам и 33 карца. Сколько каких цветов было в саду у Ушки до того, как она сорвала первый цветок в понедельник?

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{18^{6} \cdot 6^{4}}{108^{5}}:\left(2,6-1 \frac{2}{3}\right) $
   Решение:
   Упростим дробь:
   $108 = 18 \cdot 6 \Rightarrow 108^{5} = 18^{5} \cdot 6^{5}$
   $\frac{18^{6} \cdot 6^{4}}{18^{5} \cdot 6^{5}} = \frac{18}{6} = 3$
   Вычислим разность:
   $2,1\frac{21\frac{2}{3} = \}{5}}{5} - \frac{5}{3} = \frac{39 - 25}{15} = \frac{14}{15}$
   Итоговый результат:
   $3 : \frac{14}{15} = 3 \cdot \frac{15}{14} = \frac{45}{14} = 3\frac{3}{14}$
   Ответ: $\frac{45}{14}$.
   
   
2. Упростите выражение: $ \left(\frac{4 a^{2}+4 a b+b^{2}}{4 a^{2}-b^{2}}-\frac{a^{2}}{2 a^{2}-a b}\right): \frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{b-2 a} $
   Решение:
   Упростим выражение по шагам:
   $\frac{4a^2 +4ab +b^2}{4a^2 -b^2} = \frac{(2a +b)^2}{(2a -b)(2a +b)} = \frac{2a +b}{2a -b}$
   $\frac{a^2}{2a^2 -ab} = \frac{a}{2a -b}$
   Вычитание:
   $\frac{2a +b}{2a -b} - \frac{a}{2a -b} = \frac{a +b}{2a -b}$
   Деление на $\frac{(a +b)^2}{b -2a}$:
   $\frac{a +b}{2a -b} \cdot \frac{b -2a}{(a +b)^2} = -\frac{1}{a +b}$
   Подстановка значений:
   а) $a = \frac{1}{2}, b = \frac{4}{3}$:
   $-\frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{4}{3}} = -\frac{1}{\frac{11}{6}} = -\frac{6}{11}$
   б) $a = 1, b = 2$:
   $-\frac{1}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$
   Ответ: а) $-\frac{6}{11}$; б) $-\frac{1}{3}$.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}=\frac{4 x}{x-7} $
   Решение:
   ОДЗ: $x \neq \pm1, x \neq7$
   Умножим обе части на $(x^2 -1)(x -7)$:
   $(x^2 +x)(x -7) = 4x(x^2 -1)$
   Раскроем скобки:
   $x^3 -6x^2 -7x = 4x^3 -4x$
   Переносим все влево:
   $-3x^3 -6x^2 -3x = 0 \Rightarrow -3x(x +1)^2 = 0$
   Корни: $x = 0$ (подходит), $x = -1$ (не входит в ОДЗ)
   Ответ: $0$.
   
   
4. Ребенок Эрвин шел со скоростью 4 км/ч, бегает в 2,25 раза быстрее ⇒ скорость бега $9$ км/ч. Разница во времени 15 минут ($0,25$ ч). Пусть расстояние $S$:
   $\frac{S}{4} - \frac{S}{9} = 0,25$
   Общий знаменатель 36:
   $9S -4S = 9 \Rightarrow S = \frac{9}{5} = 1,8$ км
   Ответ: $1,8$ км.
   
   
5. Пусть всего работ $N$. Проверено:
   $\frac{N}{3} + 0,4 \cdot \frac{2N}{3} +23 +25 = N$
   $\frac{N}{3} + \frac{4N}{15} +48 = N$
   $\frac{5N +4N}{15} +48 = N \Rightarrow \frac{9N}{15} +48 = N$
   $48 = \frac{6N}{15} \Rightarrow N = 120$
   Ответ: $120$.
   
   
6. -
   
   
7. -