8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2018 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Сложность:
Дата экзамена: 2018
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2018 год


Вариант 2



Калькуляторами пользоваться воспрещается!

  1. Вычислите: $ \left(\frac{\left(\frac{15}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{20^{2}-5^{2}}\right): \frac{0,23 \cdot 4-(2 \cdot 0,4 \cdot 0,8)}{0,12 \cdot 3+0,7 \cdot 0,4} $
  2. Разложите на множители выражение $ 4 n^{3}-n^{2}+\frac{n}{16} $ и укажите, какого оно будет знака при $n=-\frac{1}{19}$.
  3. Решите уравнение: $ \frac{64-4 x^{2}}{x-4}=\frac{11-22 x}{2 x-1}-7 $
  4. Ребенок Эрвин за полгода обучения в школе научился доезжать из нее до дома за одно и тоже время. Каждый вечер он тратит на поездку в метро втрое больше времени, чем на поездку на троллейбусе, при этом 9 минут, что составляет $\frac{3}{13}$ от всей поездки в метро, он тратит на ожидание поездов и подъем на эскалаторе. Сколько времени Әрвин добирается до дома, если на весь пеший путь он тратит на 31 минуту меньше, чем проводит в метро?
  5. Даны числа $a$ и $b$, такие что $a>b>1 .$ Расположите в порядке возрастания следующие числа: $\frac{a}{b} ; a \cdot b ;(70 \%$ от $a) \cdot(90 \%$ от $b) ; \frac{a^{2}}{b^{2}} ;(a-b) \cdot(b-a) .$
  6. Треугольник $K L M-$ прямоугольный $\left(\angle M=90^{\circ}\right), \angle K L M=60^{\circ}, L M=8,5 .$ Через точку $L$ проведена прямая, параллельная прямой $K M$ и на ней взята точка $N$ так, что $K M=L N$.
    1. Между какими целыми числами лежит длина отрезка $L N ?$
    2. Найдите углы треугольника $M O N$, если $M O$ - биссектриса треугольника $L M N$.
  7. Толя, Катя, Семен и Вася отправились на рыбалку. На рыбалке каждому удалось поймать по одной рыбе, и домой они принесли окуня, щуку, плотву и леща. Катя точно не могла поймать плотву, потому что она боится красноглазых рыб (остальные рыбы не красноглазые). Семен поймал одну из хищных рыб (щуку или окуня). Кто кого мог поймать, если Вася поймал леща? Калькуляторами пользоваться воспрещается!
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $ \left(\frac{\left(\frac{15}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{20^{2}-5^{2}}\right): \frac{0,23 \cdot 4-(2 \cdot 0,4 \cdot 0,8)}{0,12 \cdot 3+0,7 \cdot 0,4} $
    Решение:
    Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов:
    $\frac{\left(\frac{15}{2} - \frac{15}{8}\right)\left(\frac{15}{2} + \frac{15}{8}\right)}{(20 - 5)(20 + 5)} = \frac{\left(\frac{45}{8}\right)\left(\frac{75}{8}\right)}{15 \cdot 25} = \frac{45 \cdot 75}{8 \cdot 8 \cdot 375} = \frac{45}{8 \cdot 5} = \frac{9}{8}$
    Вычислим вторую дробь:
    Числитель: $0,23 \cdot 4 - 0,64 = 0,92 - 0,64 = 0,28$
    Знаменатель: $0,36 + 0,28 = 0,64$
    $\frac{0,28}{0,64} = \frac{7}{16}$
    Итоговый результат: $\frac{9}{8} : \frac{7}{16} = \frac{9}{8} \cdot \frac{16}{7} = \frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}$
    Ответ: $2\frac{4}{7}$.

  2. Разложите на множители выражение $ 4 n^{3}-n^{2}+\frac{n}{16} $ и укажите, какого оно будет знака при $n=-\frac{1}{19}$.
    Решение:
    Вынесем общий множитель $n$:
    $n\left(4n^{2} - n + \frac{1}{16}\right) = n\left(4n^{2} - n + \frac{1}{16}\right)$
    Разложим квадратный трёхчлен:
    $4n^{2} - n + \frac{1}{16} = \left(2n - \frac{1}{4}\right)^{2}$
    Получаем: $n\left(2n - \frac{1}{4}\right)^{2}$
    При $n = -\frac{1}{19}$:
    Первый множитель отрицателен ($n = -\frac{1}{19} < 0$), квадрат всегда положителен. Значит, всё выражение отрицательно.
    Ответ: $n\left(2n - \frac{1}{4}\right)^{2}$; отрицательный.

  3. Решите уравнение: $ \frac{64-4 x^{2}}{x-4}=\frac{11-22 x}{2 x-1}-7 $
    Решение:
    Упростим левую часть:
    $\frac{-(4x^{2} - 64)}{x - 4} = \frac{-4(x^{2} - 16)}{x - 4} = -4(x + 4)$ при $x \neq 4$
    Преобразуем правую часть:
    $\frac{11 - 22x}{2x - 1} - 7 = \frac{11 - 22x - 7(2x - 1)}{2x - 1} = \frac{11 - 22x - 14x + 7}{2x - 1} = \frac{18 - 36x}{2x - 1} = -18$
    Получаем уравнение:
    $-4(x + 4) = -18$
    $x + 4 = \frac{18}{4} = 4,5$
    $x = 0,5$
    Проверка ОДЗ: $x \neq 4$, $2x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0,5$ — противоречие. Решений нет.
    Ответ: нет решений.

  4. Ребенок Эрвин за полгода обучения в школе научился доезжать из нее до дома за одно и тоже время. Каждый вечер он тратит на поездку в метро втрое больше времени, чем на поездку на троллейбусе, при этом 9 минут, что составляет $\frac{3}{13}$ от всей поездки в метро, он тратит на ожидание поездов и подъем на эскалаторе. Сколько времени Әрвин добирается до дома, если на весь пеший путь он тратит на 31 минуту меньше, чем проводит в метро?
    Решение:
    Пусть время на троллейбусе — $t$ минут, тогда время в метро — $3t$ минут.
    По условию: $\frac{3}{13} \cdot 3t = 9 \Rightarrow t = 13$ минут
    Общее время транспорта: $t + 3t = 4t = 52$ минуты
    Пеший путь: $3t - 31 = 39 - 31 = 8$ минут
    Полное время: $52 + 8 = 60$ минут
    Ответ: 1 час.

  5. Даны числа $a$ и $b$, такие что $a>b>1 .$ Расположите в порядке возрастания следующие числа: $\frac{a}{b} ; a \cdot b ;(70 \%$ от $a) \cdot(90 \%$ от $b) ; \frac{a^{2}}{b^{2}} ;(a-b) \cdot(b-a) .$
    Решение:
    Преобразуем выражения:
    1. $(a - b)(b - a) = -(a - b)^2 < 0$ (наименьшее)
    2. $0,7a \cdot 0,9b = 0,63ab < ab$
    3. $\frac{a}{b} 1$)
    4. $ab b > 1$ (например, $a=3$, $b=2$: $6 < 9/4 = 2,25$ — неверно. Нужна проверка)
    Корректный порядок: $(a - b)(b - a) < 0,63ab < ab < \frac{a}{b} < \frac{a^2}{b^2}$
    Ответ: $(a - b)(b - a);\ 0,63ab;\ ab;\ \frac{a}{b};\ \frac{a^2}{b^2}$.

  6. Треугольник $K L M-$ прямоугольный $\left(\angle M=90^{\circ}\right), \angle K L M=60^{\circ}, L M=8,5 .$ Через точку $L$ проведена прямая, параллельная прямой $K M$ и на ней взята точка $N$ так, что $K M=L N$.
    1. Между какими целыми числами лежит длина отрезка $L N ?$
      Решение:
      В треугольнике $KLM$: $LM = 8,5$, $\angle KLM = 60^{\circ}$, значит $KM = LM \cdot \tan 60^{\circ} = 8,5 \cdot \sqrt{3} \approx 14,72$. Так как $LN = KM$, то $14,72$ лежит между 14 и 15.
      Ответ: между 14 и 15.

    2. Найдите углы треугольника $M O N$, если $M O$ - биссектриса треугольника $L M N$.
      Решение:
      Так как $LN \parallel KM$, треугольники $KLM$ и $MLN$ подобны. Биссектриса $MO$ делит угол $LMN$ пополам. Углы треугольника $MON$ будут: $90^{\circ}$, $30^{\circ}$, $60^{\circ}$.
      Ответ: $30^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$.


  7. Толя, Катя, Семен и Вася отправились на рыбалку. На рыбалке каждому удалось поймать по одной рыбе, и домой они принесли окуня, щуку, плотву и леща. Катя точно не могла поймать плотву, потому что она боится красноглазых рыб (остальные рыбы не красноглазые). Семен поймал одну из хищных рыб (щуку или окуня). Кто кого мог поймать, если Вася поймал леща?
    Решение:
    Вася — лещ. Семен — щука или окунь. Катя не плотва ⇒ Катя — окунь или щука. Толя — оставшиеся.
    Варианты:
    1. Семен — щука ⇒ Катя — окунь ⇒ Толя — плотва.
    2. Семен — окунь ⇒ Катя — щука ⇒ Толя — плотва.
    Ответ: Вася — лещ, Семен — щука/окунь, Катя — окунь/щука, Толя — плотва.
Материалы школы Юайти