Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2017 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2017 год

Вариант 2

1. Вычислите: $ \frac{625 \cdot 22^{2}}{121 \cdot 45^{2}} \cdot \frac{1 \frac{2}{3}-1,6}{\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{2}{9}\right)^{2}} $
2. Упростите выражение $ \left(\frac{a b-5 a^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}-9 a b}{b^{2}}\right): \frac{3 a-b}{b} $ и найдите его значение при а) $a=\frac{1}{3}, b=1 ;$ б) $a=-0,5, b=-2$.
3. Решите уравнение: $ (x+2)(x-1)(3 x+1)=(x+1)(x+2)(3 x-2) $
4. Малыш Эрвин подрос и теперь родители доверяют ему самому убирать квартиру. Первый раз, когда он убирал ее, то на всю уборку он затратил 2,5 часа. Мыл полы он на 10 минут дольше, чем пылесосил, а протирал пыль в три раза меньшее время, чем мыл полы. Сколько времени Эрвин пылесосил, если оказалось, что 20 минут от всего времени уборки он смотрел мультики?
   
   С числами $a$ и $b$ проделали некоторые операции. Для каждого пункта укажите (обведите правильный ответ), как изменится произведение или частное этих чисел:
5. Положительное число $a$ увеличили в 5 раз, а положительное число $b$ уменьшили в 4 раза. Как изменится произведение $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
6. Положительное число $a$ увеличили на $40 \%$, а положительное число $b$ уменьшили на $40 \%$ как изменится произведение $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
7. Положительное число $a$ увеличили в 3 раза, а положительное число $b$ уменьшили на $60 \%$. Как изменится произведение $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
8. Отрицательное число $a$ умножили на 5 , а положительное число $b$ разделили на 4. Как изменится произведение $a$ и $b$?
   1. увеличится
   2. уменьшится
   3. не изменится
   4. определить невозможно
9. Положительное число $a$ возвели в куб, а отрицательное число $b$ возвели в квадрат. Как изменится частное $a$ и $b$?
   1. увеличится
   2. уменьшится
   3. не изменится
   4. определить невозможно
10. Из числа $a$ вычли число $b$, а из числа $b$ вычли число $a$. Как изменится произведение $a$ и $b$, если эти числа одного знака?
    1. увеличится
    2. уменьшится
    3. не изменится
    4. определить невозможно
11. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$, сторону $A C$ продлили за точку $C$ на собственную длину до точки $D .$ Угол $A B D$ равен $150^{\circ} .$
    1. Найдите углы треугольника $A B C$.
    2. Через точку $D$ провели прямую, параллельную $A B$, а через точку $B$ прямую, параллельную $A D .$ Эти прямые пересеклись в точке $E .$ Найдите длину отрезка $D E$, если $A B=13 \mathrm{~cm}$.
12. С Диковинного острова в питерский зоопарк завезли Диковинных животных: фрапов, хрулов и мозглов, всего 197 животных. По ошибке их заселили в один вольер, чего было делать нельзя, ведь, как оказалось после:
    - Фрапы с радостью едят мозглов, но брезгуют товарищами по виду и не переносят хрулов;
    - Хрулы не против полакомиться фрапами, брезгуют товарищами по виду и не переваривают мозглов;
    - Мозглы питаются хрулами, как и остальные, брезгуют товарищами по виду и не способны есть фрапов.
    
    На следующий день в вольере остался один только хрул. Определите, сколько каких Диковинных животных было в вольере и какое животное первым полакомилось своим сожителем, если известно что каждое из Диковинных животных съедает не больше одного Диковинного животного в неделю.

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{625 \cdot 22^{2}}{121 \cdot 45^{2}} \cdot \frac{1 \frac{2}{3}-1,6}{\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{2}{9}\right)^{2}} $
   Решение:
   Упростим первую дробь:
   $\frac{625 \cdot 22^{2}}{121 \cdot 45^{2}} = \frac{25^{2} \cdot (2 \cdot 11)^{2}}{11^{2} \cdot (9 \cdot 5)^{2}} = \frac{25^{2} \cdot 4 \cdot 11^{2}}{11^{2} \cdot 81 \cdot 25} = \frac{100}{81}$
   Вторая часть:
   Числитель: $1\frac{2}{3} - 1,6 = \frac{5}{3} - \frac{8}{5} = \frac{25 - 24}{15} = \frac{1}{15}$
   Знаменатель: $\left(\frac{2}{3}\right)^{3} + \left(\frac{2}{9}\right)^{2} = \frac{8}{27} + \frac{4}{81} = \frac{28}{81}$
   Вторая дробь: $\frac{\frac{1}{15}}{\frac{28}{81}} = \frac{27}{140}$
   Итог: $\frac{100}{81} \cdot \frac{27}{140} = \frac{5}{21}$
   Ответ: $\frac{5}{21}$.
   
   
2. Упростите выражение $ \left(\frac{a b-5 a^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}-9 a b}{b^{2}}\right): \frac{3 a-b}{b} $
   Решение:
   Упростим выражение в скобках:
   $\frac{ab - 5a^{2}}{a^{2}} - \frac{b^{2} - 9ab}{b^{2}} = \frac{b - 5a}{a} - \frac{b - 9a}{b} = \frac{(b - 5a)b - (b - 9a)a}{ab} = \frac{b^{2} - 5ab - ab + 9a^{2}}{ab} = \frac{(3a - b)^{2}}{ab}$
   Деление на $\frac{3a - b}{b}$:
   $\frac{(3a - b)^{2}}{ab} \cdot \frac{b}{3a - b} = \frac{3a - b}{a}$
   а) При $a = \frac{1}{3}, b = 1$:
   $\frac{3 \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3}} = \frac{0}{\frac{1}{3}} = 0$
   б) При $a = -0,5, b = -2$:
   $\frac{3 \cdot (-0,5) - (-2)}{-0,5} = \frac{-1,5 + 2}{-0,5} = \frac{0,5}{-0,5} = -1$
   Ответ: а) 0; б) -1.
   
   
3. Решите уравнение: $ (x+2)(x-1)(3x+1) = (x+1)(x+2)(3x-2) $
   Решение:
   Перенесём все в левую часть:
   $(x+2)[(x-1)(3x+1) - (x+1)(3x-2)] = 0$
   Упростим выражение в скобках:
   $(x-1)(3x+1) - (x+1)(3x-2) = 3x^{2} - 2x -1 - (3x^{2} + x -2) = -3x +1$
   Уравнение: $(x+2)(-3x +1) = 0$
   Корни: $x = -2$ или $x = \frac{1}{3}$
   Ответ: $-2$; $\frac{1}{3}$.
   
   
4. Время уборки: 150 минут. На уборку потрачено 130 минут. Пусть время пылесоса — $x$ минут. Тогда:
   $x + (x + 10) + \frac{x + 10}{3} = 130$
   Умножаем на 3:
   $3x + 3x + 30 + x + 10 = 390 \Rightarrow 7x = 350 \Rightarrow x = 50$
   Ответ: 50 минут.
   
   
5. Ответы на вопросы:
   1. Увеличится
   2. Уменьшится
   3. Увеличится
   4. Уменьшится
   5. Увеличится
   6. Уменьшится
   
   
   
6. Геометрическая задача:
   1. Пусть $AC = CD = a$. Из условия $\angle ABD = 150^{\circ}$ и свойств прямоугольного треугольника получаем:
      $\tg(\angle BAC) = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow \angle BAC = 15^{\circ}$, $\angle ABC = 75^{\circ}$
      Ответ: $15^{\circ}$, $75^{\circ}$, $90^{\circ}$.
   2. Построив параллелограмм $ADEB$, получаем $DE = AB = 13$ см.
      Ответ: 13 см.
   
   
   
7. Исходное количество животных: 98 фрапов, 98 хрулов, 1 мозгл. Первым действовал фрап, съев мозгла.
   Ответ: 98 фрапов, 98 хрулов, 1 мозгл. Первым съел фрап.