Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2016 год

Вариант 2

1. Вычислите: $ \frac{216 \cdot 49^{3}}{21^{4} \cdot 64}+\left(\frac{8}{13}-1,625\right) \cdot\left(2,4+\frac{12}{21}\right) $
2. Разложите на множители многочлен $ p^{4}-9 q^{2}+24 q-16 $ и найдите его значение при а) $p=-1, q=1 ;$ б) $p=1 \frac{2}{3}, q=\frac{4}{9}$.
3. Решите уравнение: $ \frac{36-60 x+25 x^{2}}{5 x-6}+\frac{16 x^{2}-24 x+9}{3-4 x}=5 x-6 $
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс сварил 7 литров компота из стрекателек, причём стрекательки занимали $12 \%$ объёма. Головастик Саша решил, что компот слишком наваристый и добавил туда 5 литров чистой воды. Каково стало процентное содержание стрекателек в компоте?
5. Малыш Эрвин прополз путь от душа до бассейна со скоростью 15 м/мин, а потом наматывал круги по бассейну со скоростью 50 м/мин. Весь путь он проделал за 6 минут. Сколько он полз и сколько плыл, если проплыл он на 40 метров больше, чем прополз?
6. В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ медиана $C M=5$, гипотенуза $A B=10 \mathrm{~cm}, \angle C M A=120^{\circ} .$ Найдите а) $\angle A B C ;$ б) катет $B C ;$ в) высоту треугольника $A M C$, опущенную из вершины $M .$
7. Три тираннозаврика Глип, Влип и Блип зарыли свои сокровища на одном острове. Один из них зарыл сокровища возле дерева лимона, другой - банана, а третий - абрикоса. Ёмкость для хранения тоже у каждого была своя: один использовал сундучок, второй - большую морскую ракушку, а третий - кожаный мешочек. Определите, где и в чём хранил свои сокровища каждый из них, если известно, что: - Ракушку использовал не Влип; - Тот, кто закопал сокровища под абрикосом, использовал мешочек; - Глип закопал сундучок, но не под лимоном.

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{216 \cdot 49^{3}}{21^{4} \cdot 64}+\left(\frac{8}{13}-1,625\right) \cdot\left(2,4+\frac{12}{21}\right) $
   Решение: Упростим каждую часть отдельно.
   Первая дробь: \[ \frac{216 \cdot 49^{3}}{21^{4} \cdot 64} = \frac{6^3 \cdot (7^2)^3}{(3 \cdot 7)^4 \cdot 8^2} = \frac{6^3 \cdot 7^6}{3^4 \cdot 7^4 \cdot 8^2} = \frac{6^3 \cdot 7^2}{3^4 \cdot 8^2} = \frac{(2 \cdot 3)^3 \cdot 49}{3^4 \cdot 64} = \frac{8 \cdot 49}{3 \cdot 64} = \frac{49}{24} \] Вторая часть: \[ \left(\frac{8}{13} - 1,625\right) \cdot \left(2,4 + \frac{12}{21}\right) = \left(\frac{8}{13} - \frac{13}{8}\right) \cdot \left(\frac{12}{5} + \frac{4}{7}\right) = \left(-\frac{105}{104}\right) \cdot \frac{104}{35} = -3 \] Итог: \[ \frac{49}{24} - 3 = \frac{49 - 72}{24} = -\frac{23}{24} \] Ответ: $-\dfrac{23}{24}$.
   
   
2. Разложите на множители многочлен $ p^{4}-9 q^{2}+24 q-16 $ и найдите его значение при а) $p=-1, q=1 ;$ б) $p=1 \frac{2}{3}, q=\frac{4}{9}$.
   Решение: Разложим многочлен: \[ p^4 - 9q^2 + 24q - 16 = p^4 - (3q - 4)^2 = (p^2 - 3q + 4)(p^2 + 3q - 4) \] а) Подставим $p = -1$, $q = 1$: \[ ((-1)^2 - 3 \cdot 1 + 4)((-1)^2 + 3 \cdot 1 - 4) = (1 - 3 + 4)(1 + 3 - 4) = 2 \cdot 0 = 0 \] б) Подставим $p = \dfrac{5}{3}$, $q = \dfrac{4}{9}$: \[ \left(\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 4\right)\left(\left(\frac{5}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{4}{9} - 4\right) = \left(\frac{25}{9} - \frac{12}{9} + \frac{36}{9}\right)\left(\frac{25}{9} + \frac{12}{9} - \frac{36}{9}\right) = \frac{49}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{49}{81} \] Ответ: а) 0; б) $\dfrac{49}{81}$.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{36-60 x+25 x^{2}}{5 x-6}+\frac{16 x^{2}-24 x+9}{3-4 x}=5 x-6 $
   Решение: Заметим, что числители являются квадратами: \[ \frac{(5x - 6)^2}{5x - 6} + \frac{(4x - 3)^2}{3 - 4x} = 5x - 6 \] Упростим: \[ (5x - 6) - (4x - 3) = 5x - 6 \quad \Rightarrow \quad x - 3 = 5x - 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4} \] Однако $x = \dfrac{3}{4}$ обращает знаменатель $3 - 4x$ в ноль. Следовательно, решений нет.
   Ответ: корней нет.
   
   
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс сварил 7 литров компота из стрекателек, причём стрекательки занимали $12 \%$ объёма. Головастик Саша решил, что компот слишком наваристый и добавил туда 5 литров чистой воды. Каково стало процентное содержание стрекателек в компоте?
   Решение: Объём стрекателек: $7 \cdot 0,12 = 0,84$ л. Новый объём компота: $7 + 5 = 12$ л.
   Процентное содержание: \[ \frac{0,84}{12} \cdot 100% = 7\% \] Ответ: $7\%$.
   
   
5. Малыш Эрвин прополз путь от душа до бассейна со скоростью 15 м/мин, а потом наматывал круги по бассейну со скоростью 50 м/мин. Весь путь он проделал за 6 минут. Сколько он полз и сколько плыл, если проплыл он на 40 метров больше, чем прополз?
   Решение: Пусть время ползания — $t$ мин, тогда время плавания — $6 - t$ мин.
   Расстояния: \[ 15t + 40 = 50(6 - t) \quad \Rightarrow \quad 15t + 40 = 300 - 50t \quad \Rightarrow \quad t = 4 \text{ мин} \] Прополз: $15 \cdot 4 = 60$ м, проплыл: $50 \cdot 2 = 100$ м.
   Ответ: 60 м полз, 100 м плыл.
   
   
6. В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ медиана $C M=5$, гипотенуза $A B=10 \mathrm{~cm}, \angle C M A=120^{\circ} .$ Найдите а) $\angle A B C ;$ б) катет $B C ;$ в) высоту треугольника $A M C$, опущенную из вершины $M .$
   Решение: а) В треугольнике $CMA$: $CM = AM = 5$ см, $\angle CMA = 120^\circ$. По теореме косинусов: \[ AC^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 75 \quad \Rightarrow \quad AC = 5\sqrt{3} \text{ см} \] В треугольнике $ABC$: $\angle ABC = 30^\circ$ (катет $BC = 5$ см против угла $30^\circ$).
   б) Катет $BC = 5$ см.
   в) Площадь треугольника $AMC$: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ = \frac{25\sqrt{3}}{4} \] Высота из $M$: \[ h = \frac{2S}{AC} = \frac{25\sqrt{3}/2}{5\sqrt{3}} = 2,5 \text{ см} \] Ответ: а) $30^\circ$; б) 5 см; в) 2,5 см.
   
   
7. Три тираннозаврика Глип, Влип и Блип зарыли свои сокровища на одном острове. Определите, где и в чём хранил свои сокровища каждый из них.
   Решение:
   • Глип: сундучок под бананом (по условию 3).
   • Влип: мешочек под абрикосом (по условию 2).
   • Блип: ракушка под лимоном (оставшийся вариант).
   Ответ: Глип — банан, сундучок; Влип — абрикос, мешочек; Блип — лимон, ракушка.