Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2015 год

Вариант 2

1. Вычислите: $ \left(\frac{4}{7}-1,75\right) \cdot\left(1 \frac{3}{8}-1 \frac{5}{11}\right)+\frac{4 \cdot 36^{2}}{2^{3} \cdot 3^{4}} $
2. Разложите на множители многчлен $ 4 p q^{3}-p^{3} q $ и найдите его значение при а) $p=-2, q=1 ;$ б) $p=\frac{3}{4}, q=1 \frac{1}{3}$.
3. Решите уравнение: $ \frac{25-4 x^{2}}{5-2 x}+\frac{4 x^{2}+20 x+25}{5+2 x}=20 $
4. Головастик Саша, спасаясь от праведного гнева маленького зелёненького тираннозаврика Рекса, пробежал уже $\frac{1}{4}$ км. Если ему удастся пробежать $30 \%$ этого, то до укрытия в пруду останется всего $\frac{7}{13}$ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Саше?
5. Малыш Эрвин и его подруга Аня наклеили одинаковое количество наклеек на стиральную машину. Аня наклеила все свои наклейки за восемь минут, а Эрвин за пять, потому что наклеивал на 9 наклеек в минуту больше. По сколько наклеек наклеили Эрвин и Аня?
6. В треугольнике $A B C$ на продолжении стороны $A C$ за точку $A$ отмечена точка $M$ так, что $B A=A M$, а на продолжении стороны $A B$ за точку $A$ отмечена точка $N$ так, что $A N=A C . \angle A M N=\angle A C B, A N=12$ см. Найдите длину стороны $A B$.
7. Однажды Эрвин, Рома и Андрюша заметили, что принесли в детский сад из дома одинаковые игрушечные машинки. У Эрвина дома есть три машинки: машинка без прицепа, есть большая машинка и есть красная машинка с прицепом. У Ромь дома есть две машинки: машинка с прицепом и большая красная без прицепа, а у Андрюши две машинки - маленькая машинка и большая синяя без прицепа. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ поясните.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{4}{7}-1,75\right) \cdot\left(1 \frac{3}{8}-1 \frac{5}{11}\right)+\frac{4 \cdot 36^{2}}{2^{3} \cdot 3^{4}} $
   Решение:
   Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
   $1,75 = \frac{7}{4}$; $1 \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$; $1 \frac{5}{11} = \frac{16}{11}$
   Вычислим первую скобку:
   $\frac{4}{7} - \frac{7}{4} = \frac{16 - 49}{28} = -\frac{33}{28}$
   Вторая скобка:
   $\frac{11}{8} - \frac{16}{11} = \frac{121 - 128}{88} = -\frac{7}{88}$
   Произведение скобок:
   $-\frac{33}{28} \cdot -\frac{7}{88} = \frac{231}{2464} = \frac{3}{32}$
   Вычислим дробь:
   $\frac{4 \cdot 36^2}{2^3 \cdot 3^4} = \frac{4 \cdot 1296}{8 \cdot 81} = \frac{5184}{648} = 8$
   Итоговый результат:
   $\frac{3}{32} + 8 = 8\frac{3}{32} = 8,09375$
   Ответ: $8,09375$.
   
   
2. Разложите на множители многочлен $ 4 p q^{3}-p^{3} q $ и найдите его значение при а) $p=-2, q=1 ;$ б) $p=\frac{3}{4}, q=1 \frac{1}{3}$.
   Решение:
   Разложение на множители:
   $4pq^3 - p^3q = pq(4q^2 - p^2) = pq(2q - p)(2q + p)$
   а) Подставим $p = -2$, $q = 1$:
   $(-2)(1)(2 \cdot 1 - (-2))(2 \cdot 1 + (-2)) = (-2)(1)(4)(0) = 0$
   б) Подставим $p = \frac{3}{4}$, $q = \frac{4}{3}$:
   $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \left(2 \cdot \frac{4}{3} - \frac{3}{4}\right)\left(2 \cdot \frac{4}{3} + \frac{3}{4}\right) = 1 \cdot \left(\frac{32 - 9}{12}\right)\left(\frac{32 + 9}{12}\right) = \frac{23}{12} \cdot \frac{41}{12} = \frac{943}{144} \approx 6,55$
   Ответ: а) 0; б) $\frac{943}{144}$.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{25-4 x^{2}}{5-2 x}+\frac{4 x^{2}+20 x+25}{5+2 x}=20 $
   Решение:
   Упростим дроби:
   $\frac{25 - 4x^2}{5 - 2x} = \frac{(5 - 2x)(5 + 2x)}{5 - 2x} = 5 + 2x$ (при $x \neq 2,5$)
   $\frac{4x^2 + 20x + 25}{5 + 2x} = \frac{(2x + 5)^2}{2x + 5} = 2x + 5$ (при $x \neq -2,5$)
   Уравнение принимает вид:
   $(5 + 2x) + (2x + 5) = 20$
   $4x + 10 = 20$
   $4x = 10$
   $x = 2,5$
   Проверка: $x = 2,5$ не входит в ОДЗ первой дроби. Решений нет.
   Ответ: Нет решения.
   
   
4. Головастик Саша пробежал $\frac{1}{4}$ км. Если он пробежит 30% этого, то останется $\frac{7}{13}$ пробежанного. Сколько осталось пробежать?
   Решение:
   30% от $\frac{1}{4}$ км:
   $0,3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{40}$ км
   Останется пробежать:
   $\frac{7}{13} \cdot \frac{3}{40} = \frac{21}{520}$ км ≈ 0,0404 км
   Ответ: $\frac{21}{520}$ км.
   
   
5. Эрвин и Аня наклеили одинаковое количество наклеек. Аня — за 8 мин, Эрвин — за 5 мин, наклеивая на 9 наклеек/мин больше. По сколько наклеек?
   Решение:
   Пусть скорость Ани — $x$ наклеек/мин, тогда Эрвина — $x + 9$.
   Уравнение: $8x = 5(x + 9)$
   $8x = 5x + 45$
   $3x = 45$
   $x = 15$ (Аня)
   Эрвин: $15 + 9 = 24$ наклейки/мин
   Всего наклеек: $8 \cdot 15 = 120$
   Ответ: 120 наклеек каждый.
   
   
6. В треугольнике $ABC$ $BA = AM$, $AN = AC = 12$ см. $\angle AMN = \angle ACB$. Найдите $AB$.
   Решение:
   Из условия: $AN = AC = 12$ см, значит $AB = AM = BA$ (по построению).
   Треугольники $AMN$ и $ACB$ подобны по двум углам ($\angle A$ общий, $\angle AMN = \angle ACB$).
   Коэффициент подобия: $\frac{AN}{AC} = \frac{12}{12} = 1$ → треугольники равны.
   Следовательно, $AB = AM = AN = 12$ см.
   Ответ: 12 см.
   
   
7. -