Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2014 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2014 год

Вариант 2

1. Вычислите: $ \left(\frac{5}{3}\right)^{4} \cdot\left(0,28-\frac{16}{125}\right)+\left(\frac{5^{2}}{45}\right)^{2} $
2. Разложите на множители многчлен $ n^{2}+6 n-16 $ и укажите, какого знака будет выражение при $n=-4 \frac{1}{7}$.
3. Решите уравнение: $ \frac{x^{2}-6 x+9}{x-3}+\frac{x^{2}-14 x+49}{x-7}=\frac{x^{2}-9}{x+3} $
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс загадал число, уменьшил его на $40 \%$, а потом увеличил полученное на $40 \%$ и получил число $63 .$ Какое число загадал Рекс?
5. За полные сутки среды малыш Эрвин спит в $\frac{4}{3}$ раза больше времени, чем проводит в садике, тратит на внесадиковские мероприятия в 6 раз меньше времени, чем проводит в саду, а на всё остальное тратит 1,5 часа. Сколько времени проводит малыш Эрвин в саду по средам?
6. В равнобедренном треугольнике $A B C A B=B C, B M-$ медиана, $C L-$ биссектриса, $O-$ точка пересечения $B M$ и $C L ; K-$ точка пересечения прямой $C L$ и прямой, проходящей через точку $B$ параллельно основанию треугольника; $\angle B=116^{\circ} .$ Найдите величины углов а) $\angle C O M ;$ б) $\angle O L A ;$ в) $\angle B K C .$
7. На московских трамваях спереди есть два фонаря, которые нужны для определения маршрута трамвая издали. Каждый из них может быть одного из десяти цветов. Ниже даны номера трамваев и соответствующие им цвета в перепутанном порядке.
   $15,21,25,28,51,72,75,77,78,85$.
   синий и красный, красный и оливковый, голубой и голубой, коричневый и оливковый, синий и коричневый, голубой и синий, синий и оливковый, голубой и оливковый, оливковый и красный, голубой и коричневый.
   Установите правильные соответствия и сформулируйте правило, по которому пара фонарей соответствует номеру маршрута.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{5}{3}\right)^{4} \cdot\left(0,28-\frac{16}{125}\right)+\left(\frac{5^{2}}{45}\right)^{2} $
   Решение:
   Вычислим каждую часть отдельно:
   $\left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$.
   $0,28 - \frac{16}{125} = 0,28 - 0,128 = 0,152 = \frac{19}{125}$.
   $\frac{625}{81} \cdot \frac{19}{125} = \frac{5 \cdot 19}{81} = \frac{95}{81}$.
   $\left(\frac{25}{45}\right)^2 = \left(\frac{5}{9}\right)^2 = \frac{25}{81}$.
   Суммируем: $\frac{95}{81} + \frac{25}{81} = \frac{120}{81} = \frac{40}{27}$.
   Ответ: $\frac{40}{27}$.
2. Разложите на множители многочлен $ n^{2}+6 n-16 $ и укажите, какого знака будет выражение при $n=-4 \frac{1}{7}$.
   Решение:
   Найдем корни уравнения $n^2 + 6n - 16 = 0$:
   $D = 36 + 64 = 100$, $n = \frac{-6 \pm 10}{2}$.
   Корни: $n = 2$ и $n = -8$.
   Разложение: $(n - 2)(n + 8)$.
   При $n = -\frac{29}{7}$:
   $( -\frac{29}{7} - 2 ) = -\frac{43}{7} < 0$,
   $( -\frac{29}{7} + 8 ) = \frac{27}{7} > 0$.
   Произведение отрицательно.
   Ответ: $(n - 2)(n + 8)$; отрицательный.
3. Решите уравнение: $ \frac{x^{2}-6 x+9}{x-3}+\frac{x^{2}-14 x+49}{x-7}=\frac{x^{2}-9}{x+3} $
   Решение:
   Упростим дроби:
   $\frac{(x-3)^2}{x-3} + \frac{(x-7)^2}{x-7} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.
   Получаем: $(x - 3) + (x - 7) = x - 3$.
   $2x - 10 = x - 3$ $\Rightarrow$ $x = 7$.
   Проверка: $x = 7$ обращает знаменатель второй дроби в ноль.
   Ответ: решений нет.
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс загадал число, уменьшил его на $40 \%$, а потом увеличил полученное на $40 \%$ и получил число $63 .$ Какое число загадал Рекс?
   Решение:
   Пусть загаданное число $x$.
   После уменьшения: $0,6x$.
   После увеличения: $0,6x \cdot 1,4 = 0,84x$.
   $0,84x = 63$ $\Rightarrow$ $x = \frac{63}{0,84} = 75$.
   Ответ: 75.
5. За полные сутки среды малыш Эрвин спит в $\frac{4}{3}$ раза больше времени, чем проводит в садике, тратит на внесадиковские мероприятия в 6 раз меньше времени, чем проводит в саду, а на всё остальное тратит 1,5 часа. Сколько времени проводит малыш Эрвин в саду по средам?
   Решение:
   Пусть время в саду $t$ часов.
   Сон: $\frac{4}{3}t$.
   Мероприятия: $\frac{t}{6}$.
   Уравнение: $t + \frac{4}{3}t + \frac{t}{6} + 1,5 = 24$.
   Умножаем на 6: $6t + 8t + t + 9 = 144$ $\Rightarrow$ $15t = 135$ $\Rightarrow$ $t = 9$.
   Ответ: 9 часов.
6. В равнобедренном треугольнике $A B C$ ($A B=B C$), $B M-$ медиана, $C L-$ биссектриса, $O-$ точка пересечения $B M$ и $C L$; $K-$ точка пересечения прямой $C L$ и прямой, проходящей через точку $B$ параллельно основанию треугольника; $\angle B=116^{\circ} .$ Найдите величины углов:
   а) $\angle C O M$;
   б) $\angle O L A$;
   в) $\angle B K C$.
   Решение:
   а) $\angle COM = 90^{\circ}$ (медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике).
   б) $\angle OLA = 58^{\circ}$ (смежный с углом при вершине).
   в) $\angle BKC = 32^{\circ}$ (параллельность и свойства углов).
   Ответ: а) $90^{\circ}$; б) $58^{\circ}$; в) $32^{\circ}$.
7. На московских трамваях спереди есть два фонаря, которые нужны для определения маршрута трамвая издали. Каждый из них может быть одного из десяти цветов. Установите правильные соответствия:
   Правило: Первая цифра номера соответствует первому цвету, вторая — второму, где:
   1 — синий, 2 — красный, 5 — коричневый, 7 — голубой, 8 — оливковый.
   Соответствия:
   15: синий и коричневый, 21: красный и синий, 25: красный и коричневый, 28: красный и оливковый, 51: коричневый и синий, 72: голубой и красный, 75: голубой и коричневый, 77: голубой и голубой, 78: голубой и оливковый, 85: оливковый и коричневый.
   Ответ: Соответствия установлены по правилу кодирования цифр в цвета.