Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2014 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2013 год

Вариант 2

1. Вычислите: $ \left(\frac{5}{3}\right)^{2}-\frac{2^{5}}{10^{4}}: \frac{2^{3}}{5^{4}}+\frac{4^{2}}{3} $
2. Упростите выражение $ (5 b+7) \cdot \frac{25 b^{2}-49}{25 b^{2}-70 b+49}:\left(25 b^{2}+70 b+49\right) $ и найдите его значение при а) $b=\frac{3}{4} ;$ б) $b=-\frac{7}{5}$.
3. Разложите на множители многчлен $ n^{6}+5 n^{3}+4 $ и найдите его значение при $n=3$.
4. Решите уравнение: $ (3 x+2)(2 x-3)-(x+3)(5 x-2)=(x-1)^{2} $
5. Если малыш Тима днём спал, то ночью он будет спать в $1 \frac{1}{3}$ раза меньше, чем если бы он забыл поспать днём. Сколько малыш Тима спит днём (когда спит), если известно, что суммарное количество сна за сутки у него не меняется, причём оно равно суммарному количеству бодрствования?
6. Ниже перечислены пять определений. Укажите, какие из них неверны. Для каждого неверного определения приведите пример (в виде рисунка или словесного описания), который точно соответствует написанному, но не является при этом определяемым объектом. Напишите верные определения.
   Пример: Определение: Луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от точки данной прямой, именуемой началом луча.
   Пример рисунка:
   Верное определение: Луч - это множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от точки данной прямой, именуемой началом луча.
   1. Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало.
   2. Вертикальные углы - углы, вершины которых совпадают.
   3. Перпендикулярные прямые - это прямые, образующие при пересечении четыре прямых угла.
   4. Треугольник - это геометри ческая фигура, образованная тремя попарно пересекающи мися отрезками.
   5. Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны.
7. Алина написала на бумажке числа 5 и $a$; Боря - $a, b$ и 7 ; Сеня написал 3,9 и $c$, Даня $--a$, $b$ и 3 , а Егор написал четыре числа $a, b, c, d$. Все, что написала Алина, написал и Даня, а все, что написано у Бори, Сени и Дани, можно найти и у Егора. Найдите, чему равны числа $a, b$, $c, d$.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{5}{3}\right)^{2}-\frac{2^{5}}{10^{4}}: \frac{2^{3}}{5^{4}}+\frac{4^{2}}{3} $
   Решение:
   $\left(\frac{25}{9}\right) - \frac{32}{10000} : \frac{8}{625} + \frac{16}{3} = \frac{25}{9} - \frac{32}{10000} \cdot \frac{625}{8} + \frac{16}{3}$
   $\frac{25}{9} - \frac{32 \cdot 625}{80000} + \frac{16}{3} = \frac{25}{9} - \frac{20000}{80000} + \frac{16}{3}$
   $\frac{25}{9} - \frac{1}{4} + \frac{16}{3} = \frac{25}{9} + \frac{48}{9} - \frac{9}{36} = \frac{73}{9} - \frac{1}{4}$
   $\frac{292}{36} - \frac{9}{36} = \frac{283}{36} = 7\frac{31}{36}$
   Ответ: $7\frac{31}{36}$.
   
   
2. Упростите выражение $ (5 b+7) \cdot \frac{25 b^{2}-49}{25 b^{2}-70 b+49}:\left(25 b^{2}+70 b+49\right) $
   Решение:
   Преобразуем дроби:
   $\frac{(5b+7)(25b^2-49)}{25b^2-70b+49} \cdot \frac{1}{25b^2+70b+49} = \frac{(5b+7)(5b-7)(5b+7)}{(5b-7)^2} \cdot \frac{1}{(5b+7)^2}$
   Сокращаем множители:
   $\frac{(5b+7)^2(5b-7)}{(5b-7)^2} \cdot \frac{1}{(5b+7)^2} = \frac{1}{5b-7}$
   а) При $b=\frac{3}{4}$: $\frac{1}{5\cdot\frac{3}{4}-7} = \frac{1}{\frac{15}{4}-7} = \frac{1}{-\frac{13}{4}} = -\frac{4}{13}$
   б) При $b=-\frac{7}{5}$: $\frac{1}{5\cdot(-\frac{7}{5})-7} = \frac{1}{-7-7} = \frac{1}{-14} = -\frac{1}{14}$
   Ответ: а) $-\frac{4}{13}$; б) $-\frac{1}{14}$.
   
   
3. Разложите на множители многочлен $ n^{6}+5 n^{3}+4 $
   Решение:
   Замена $y = n^3$:
   $y^2 + 5y + 4 = (y+1)(y+4)$
   Возвращаемся к исходной переменной:
   $(n^3+1)(n^3+4) = (n+1)(n^2-n+1)(n^3+4)$
   При $n=3$: $3^6 +5\cdot3^3 +4 = 729 + 135 +4 = 868$
   Ответ: $(n+1)(n^2-n+1)(n^3+4)$; 868.
   
   
4. Решите уравнение: $ (3 x+2)(2 x-3)-(x+3)(5 x-2)=(x-1)^{2} $
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(6x^2-9x+4x-6) - (5x^2-2x+15x-6) = x^2-2x+1$
   $6x^2-5x-6 -5x^2-13x+6 = x^2-2x+1$
   $x^2-18x = x^2-2x+1$
   $-16x = 1 \Rightarrow x = -\frac{1}{16}$
   Ответ: $-\frac{1}{16}$.
   
   
5. Пусть дневной сон составляет $x$ часов. Тогда ночной сон:
   Если спал днём: $\frac{4}{3}x$ часов
   Всего сна за сутки: $x + \frac{4}{3}x = \frac{7}{3}x$
   По условию сон равен бодрствованию: $\frac{7}{3}x = 12$
   $x = 12 \cdot \frac{3}{7} = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7}$ часов
   Ответ: $5\frac{1}{7}$ часов.
   
   
6. Неверные определения:
   1. Не указано, что лучи исходят из одной точки. Пример: два параллельных луча.
   2. Не указано, что стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Пример: два угла с общей вершиной, но не вертикальные.
   4. Отрезки должны соединять три неколлинеарные точки. Пример: три отрезка, пересекающиеся в одной точке.
   Верные определения:
   1. Угол - фигура из двух лучей с общим началом.
   2. Вертикальные углы - пара углов с общей вершиной, где стороны одного - продолжения сторон другого.
   4. Треугольник - три отрезка, соединяющие три неколлинеарные точки.
   5. Верно: равнобедренный треугольник имеет минимум две равные стороны.
   
   
7. Анализируем условия:
   У Алины: {5, a}
   У Дани: {a, b, 3} (должны содержать все числа Алины ⇒ a=3 или 5)
   Но у Сени есть 3 ⇒ a≠3 (иначе противоречие с Даней). Значит a=5
   У Бори: {5, b,7}
   У Сени: {3,9,c}
   У Дани: {5,b,3}
   У Егора: {5,b,c,d} (должен содержать все числа Бори, Сени и Дани ⇒ 5,b,7,3,9,c)
   Значит: a=5, b=7 (из Бори), c=9 (из Сени), d=3
   Ответ: a=5, b=7, c=9, d=3.