Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2012 год (вариант 2)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2012 год

Вариант 2

1. Решите уравнение: $ 1.2 x-1 \frac{2}{7}=\frac{2}{3} x+0.6 $
2. Упростите: $ \left(\frac{b+7}{b-7}+\frac{b-7}{b+7}\right) \cdot\left(1-\frac{98}{b^{2}+49}\right) $
3. Точки $A, O$ и $B$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ расположена между точками $A$ и $B$, а точки $C$ и $D$ не лежат на этой прямой. Угол $A O D$ равен $100^{\circ}$, угол $C O D$ равен $30^{\circ} .$ Чему равен угол $B O C ?$
4. Решите уравнение: $ \frac{4 x^{2}-9}{2 x-3}+8 x=18 $
5. Один биолог, исследуя маленький остров в Южном океане, выяснил, что на нем живут жуски, бамааги и эфлы. Проведя на острове месяц, он обнаружил, что:
   1. Если жуску канфилить, то она будет юкать.
   2. Если эфлу щелкнуть по носу, то она развеселится.
   3. Если бамаагу щёлкнуть по носу, она восхитится.
   4. Веселая эфла канфилит жуску.
   5. Восхищённая бамаага жыбакает эфлу.
   На полянке сидят грустная эфла, невосхищённая бамаага и неюкающая жуска. Что и в каком порядке должен сделать биолог, чтобы жуска начала Юкать?
   Комментарий: Как выглядят и существуют ли вообще в природе вышеперечисленные представители фауны, для решения задачи знать не обязательно. Предполагается, что они умеют делать все указанные действия, а также, что биолог может щёлкать по носу, но не может жыбакать, канфилить и юкать.
6. Малыш Эрвин может съесть тарелку еды за 9 минут, его друг Егор тратит на поедание такой же тарелки в полтора раза меньше времени, чем Эрвин, а его друг Саня - в три раза больше времени, чем Егор. За какое время они съедят такую тарелку еды вместе?
7. Вычислите: $ \frac{21^{2012}-7^{2012}}{49^{1006}}-\frac{12^{2012}+4^{2012}}{2^{4024}} $

Решения задач

1. Решите уравнение: $1.2 x-1 \frac{2}{7}=\frac{2}{3} x+0.6$
   Решение:
   Переведём смешанную дробь в десятичную: $1 \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \approx 1.2857$. Уравнение примет вид:
   $1.2x - \frac{9}{7} = \frac{2}{3}x + 0.6$
   Умножим все члены на 21 (общий знаменатель):
   $21 \cdot 1.2x - 21 \cdot \frac{9}{7} = 21 \cdot \frac{2}{3}x + 21 \cdot 0.6$
   $25.2x - 27 = 14x + 12.6$
   $25.2x - 14x = 12.6 + 27$
   $11.2x = 39.6$
   $x = \frac{39.6}{11.2} = \frac{99}{28} = 3\frac{15}{28}$
   Ответ: $3\frac{15}{28}$.
   
   
2. Упростите: $\left(\frac{b+7}{b-7}+\frac{b-7}{b+7}\right) \cdot\left(1-\frac{98}{b^{2}+49}\right)$
   Решение:
   Упростим первую скобку:
   $\frac{(b+7)^2 + (b-7)^2}{(b-7)(b+7)} = \frac{2b^2 + 98}{b^2 - 49}$
   Упростим вторую скобку:
   $1 - \frac{98}{b^2 + 49} = \frac{b^2 - 49}{b^2 + 49}$
   Перемножим результаты:
   $\frac{2b^2 + 98}{b^2 - 49} \cdot \frac{b^2 - 49}{b^2 + 49} = \frac{2(b^2 + 49)}{b^2 + 49} = 2$
   Ответ: 2.
   
   
3. Точки $A, O$ и $B$ лежат на одной прямой, угол $AOD = 100^{\circ}$, угол $COD = 30^{\circ}$. Найдите угол $BOC$.
   Решение:
   Угол $AOD = 100^{\circ}$, угол $COD = 30^{\circ}$. Тогда угол $AOC = 100^{\circ} - 30^{\circ} = 70^{\circ}$.
   Сумма смежных углов $AOC$ и $BOC$ равна $180^{\circ}$:
   $\angle BOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$
   Ответ: $110^{\circ}$.
   
   
4. Решите уравнение: $\frac{4 x^{2}-9}{2 x-3}+8 x=18$
   Решение:
   Разложим числитель дроби:
   $\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x-3} = 2x+3$ (при $x \neq 1.5$)
   Уравнение принимает вид:
   $2x + 3 + 8x = 18$
   $10x + 3 = 18$
   $10x = 15$
   $x = 1.5$, но это значение исключено из ОДЗ.
   Ответ: корней нет.
   
   
5. Логическая задача с существами.
   Решение:
   1. Щёлкнуть эфлу по носу → эфла становится веселой (пункт 2).
   2. Весёлая эфла канфилит жуску (пункт 4) → жуска начинает юкать (пункт 1).
   Ответ: биолог должен щёлкнуть эфлу по носу.
   
   
6. Задача на совместную работу.
   Решение:
   Время Эрвина: 9 мин. Время Егора: $9 / 1.5 = 6$ мин. Время Сани: $6 \cdot 3 = 18$ мин.
   Совместная скорость: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{1}{3}$ тарелки/мин.
   Время: $1 : \frac{1}{3} = 3$ минуты.
   Ответ: 3 минуты.
   
   
7. Вычислите: $\frac{21^{2012}-7^{2012}}{49^{1006}}-\frac{12^{2012}+4^{2012}}{2^{4024}}$
   Решение:
   Упростим каждую часть:
   $\frac{21^{2012}}{7^{2012}} - \frac{7^{2012}}{7^{2012}} = 3^{2012} - 1$
   $\frac{12^{2012}}{4^{2012}} + \frac{4^{2012}}{4^{2012}} = 3^{2012} + 1$
   Итоговое выражение:
   $(3^{2012} - 1) - (3^{2012} + 1) = -2$
   Ответ: $-2$.