Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2018 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2018 год

Вариант 1

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. Вычислите: $ \left(\frac{\left(\frac{27}{4}\right)^{2}-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{18^{2}-5^{2}}\right): \frac{0,33 \cdot 3-(8 \cdot 0,2 \cdot 0,4)}{0,13 \cdot 4+0,4 \cdot 0,3} $
2. Разложите на множители выражение $ 4 m^{3}+m^{2}+\frac{m}{16} $ и укажите, какого оно будет знака при $m=-\frac{1}{9}$.
3. Решите уравнение: $ \frac{36-16 x^{2}}{2 x-3}=\frac{24-12 x}{x-2}-12 $
4. Ребенок Эрвин за полода обучения в школе научился доезжать до нее за одно и тоже время. Каждое утро он тратит на поездку в метро вдвое больше времени, чем на поездку на троллейбусе, при этом 8 минут, что составляет $\frac{2}{9}$ от всей поездки в метро, он тратит на ожидание поездов и подъем на эскалаторе. Сколько времени Эрвин добирается до школы, если на весь пеший путь он тратит на 29 минут меньше, чем проводит в метро.
5. Даны числа $a$ и $b$, такие что $a>b>1 .$ Расположите в порядке возрастания следующие числа: $\frac{b}{a} ; a \cdot b ;(90 \%$ от $a) \cdot(120 \%$ от $b) ; \frac{b^{2}}{a^{2}} ;(a-b) \cdot(b-a) .$
6. Треугольник $P Q R-$ прямоугольный $\left(\angle R=90^{\circ}\right), \angle P Q R=60^{\circ}, Q R=6,5 .$ Через точку $Q$ проведена прямая, параллельная прямой $P R$ и на ней взята точка $S$ так, что $P R=Q S$.
   1. Между какими цельми числами лежит длина отрезка $Q S ?$
   2. Найдите углы треугольника $R O S$, если $R O$ - биссектриса треугольника $Q R S$.
7. Таня, Коля, Сережа и Вика отправились на рыбалку. На рыбалке каждому удалось поймать по одной рыбе, и домой они принесли окуня, щуку, плотву и леща. Сережа точно не мог поймать щуку, так как он боится их больше всего на свете. Вика поймала одну из хищных рыб (щуку или окуня). Кто кого мог поймать, если Таня поймала окуня?

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{\left(\frac{27}{4}\right)^{2}-\left(\frac{15}{8}\right)^{2}}{18^{2}-5^{2}}\right): \frac{0,33 \cdot 3-(8 \cdot 0,2 \cdot 0,4)}{0,13 \cdot 4+0,4 \cdot 0,3} $
   Решение:
   Разложим числитель первой дроби как разность квадратов:
   $\left(\frac{27}{4}\right)^2 - \left(\frac{15}{8}\right)^2 = \left(\frac{27}{4} - \frac{15}{8}\right)\left(\frac{27}{4} + \frac{15}{8}\right) = \left(\frac{39}{8}\right)\left(\frac{69}{8}\right) = \frac{39 \cdot 69}{64}$
   Знаменатель первой дроби:
   $18^2 - 5^2 = (18 - 5)(18 + 5) = 13 \cdot 23 = 299$
   Первая дробь:
   $\frac{\frac{39 \cdot 69}{64}}{299} = \frac{39 \cdot 69}{64 \cdot 299} = \frac{3 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 23}{64 \cdot 13 \cdot 23} = \frac{9}{64}$
   Вычислим вторую дробь:
   Числитель: $0,33 \cdot 3 - (8 \cdot 0,2 \cdot 0,4) = 0,99 - 0,64 = 0,35$
   Знаменатель: $0,13 \cdot 4 + 0,4 \cdot 0,3 = 0,52 + 0,12 = 0,64$
   Вторая дробь: $\frac{0,35}{0,64} = \frac{35}{64}$
   Итоговое выражение:
   $\frac{9}{64} : \frac{35}{64} = \frac{9}{35}$
   Ответ: $\frac{9}{35}$.
   
   
2. Разложите на множители выражение $ 4 m^{3}+m^{2}+\frac{m}{16} $ и укажите, какого оно будет знака при $m=-\frac{1}{9}$.
   Решение:
   Вынесем общий множитель $m$:
   $m\left(4m^2 + m + \frac{1}{16}\right)$
   Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом:
   $4m^2 + m + \frac{1}{16} = \left(2m + \frac{1}{4}\right)^2$
   Итоговое разложение:
   $m\left(2m + \frac{1}{4}\right)^2$
   При $m = -\frac{1}{9}$:
   Множитель $m$ отрицателен, квадрат всегда положителен. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно.
   Ответ: $m\left(2m + \frac{1}{4}\right)^2$; отрицательный.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{36-16 x^{2}}{2 x-3}=\frac{24-12 x}{x-2}-12 $
   Решение:
   Упростим левую часть:
   $\frac{36 - 16x^2}{2x - 3} = \frac{(6 - 4x)(6 + 4x)}{2x - 3} = -2(6 + 4x)$ (при $x \neq \frac{3}{2}$)
   Упростим правую часть:
   $\frac{24 - 12x}{x - 2} - 12 = \frac{24 - 12x - 12(x - 2)}{x - 2} = \frac{48 - 24x}{x - 2} = -24$
   Получаем уравнение:
   $-2(6 + 4x) = -24 \Rightarrow 6 + 4x = 12 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
   Но $x = \frac{3}{2}$ не входит в ОДЗ исходного уравнения.
   Ответ: решений нет.
   
   
4. Ребенок Эрвин за полгода обучения в школе научился доезжать до нее за одно и то же время. Каждое утро он тратит на поездку в метро вдвое больше времени, чем на поездку на троллейбусе, при этом 8 минут, что составляет $\frac{2}{9}$ от всей поездки в метро, он тратит на ожидание поездов и подъем на эскалаторе. Сколько времени Эрвин добирается до школы, если на весь пеший путь он тратит на 29 минут меньше, чем проводит в метро.
   Решение:
   Пусть время на троллейбус — $t$ минут, тогда время в метро — $2t$ минут.
   Составим уравнение для времени в метро:
   $\frac{2}{9} \cdot 2t = 8 \Rightarrow t = 18$ минут
   Время в метро: $2t = 36$ минут
   Пеший путь: $36 - 29 = 7$ минут
   Общее время:
   $36 + 18 + 7 = 61$ минута
   Ответ: 61 минута.
   
   
5. Даны числа $a$ и $b$, такие что $a > b > 1$. Расположите в порядке возрастания следующие числа: $\frac{b}{a}$; $a \cdot b$; $(90\%$ от $a) \cdot (120\%$ от $b)$; $\frac{b^{2}}{a^{2}}$; $(a - b) \cdot (b - a)$.
   Решение:
   Упростим выражения:
   $(90% \cdot a) \cdot (120% \cdot b) = 1,08ab$
   $(a - b)(b - a) = -(a - b)^2$ (отрицательное)
   Порядок возрастания:
   $-(a - b)^2 < \frac{b^2}{a^2} < \frac{b}{a} < ab < 1,08ab$
   Ответ: $-(a - b)^2$; $\frac{b^2}{a^2}$; $\frac{b}{a}$; $ab$; $1,08ab$.
   
   
6. Треугольник $PQR$ — прямоугольный ($\angle R = 90^\circ$), $\angle PQR = 60^\circ$, $QR = 6,5$. Через точку $Q$ проведена прямая, параллельная прямой $PR$ и на ней взята точка $S$ так, что $PR = QS$.
   1. Между какими целыми числами лежит длина отрезка $QS$?
      Решение:
      В треугольнике $PQR$:
      $\angle Q = 60^\circ$, $QR = 6,5$ (катет)
      Гипотенуза $PQ = \frac{QR}{\sin 30^\circ} = 13$
      Катет $PR = PQ \cdot \sin 60^\circ = 13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 11,258$
      Так как $QS = PR$, то $QS \approx 11,258$
      Ответ: между 11 и 12.
      
      
   2. Найдите углы треугольника $ROS$, если $RO$ — биссектриса треугольника $QRS$.
      Решение:
      Так как $QS \parallel PR$, треугольники $QRS$ и $PRS$ подобны. Биссектриса $RO$ делит угол $QRS$ пополам. Углы треугольника $ROS$:
      $\angle ROS = 90^\circ$, $\angle ORS = 30^\circ$, $\angle OSR = 60^\circ$
      Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
   
   
   
7. Таня, Коля, Сережа и Вика отправились на рыбалку. На рыбалке каждому удалось поймать по одной рыбе, и домой они принесли окуня, щуку, плотву и леща. Сережа точно не мог поймать щуку, так как он боится их больше всего на свете. Вика поймала одну из хищных рыб (щуку или окуня). Кто кого мог поймать, если Таня поймала окуня?
   Решение:
   Таня — окунь. Вика — щука (так как хищная рыба). Сережа не ловил щуку, значит у него плотва или лещ. Коля — оставшаяся рыба.
   Возможное распределение:
   Таня — окунь, Вика — щука, Сережа — плотва, Коля — лещ.
   Ответ: Таня — окунь, Вика — щука, Сережа — плотва, Коля — лещ.