Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2017 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2017 год

Вариант 1

1. Вычислите: $ \frac{1 \frac{3}{8}+1,25}{\left(\frac{3}{2}\right)^{3}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \cdot \frac{15^{3} \cdot 343}{98^{2} \cdot 75} $
2. Упростите выражение $ \left(\frac{a b+a^{2}}{a^{2}}-\frac{5 b^{2}-4 a b}{b^{2}}\right): \frac{2 a-b}{a} $ и найдите его значение при а) $a=\frac{1}{2}, b=1 ;$ б) $a=-0,5, b=-2$.
3. Решите уравнение: $ (x+1)(2 x+3)(x-1)=(x+2)(x+1)(2 x-1) $
4. Малыш Эрвин подрос и теперь родители доверяют ему самому убирать квартиру. Первый раз, когда он убирал ее, то на всю уборку он затратил 2,5 часа. Мыл полы он на 20 минут дольше, чем пылесосил ковры, а протирал пыль в два раза меньшее время, чем мыл полы. Сколько времени Эрвин пылесосил, если оказалось, что 20 минут от всего времени уборки он собирал лего?
   
   С числами $a$ и $b$ проделали некоторые операции. Для каждого пункта укажите (обведите правильный ответ), как изменится произведение или частное этих чисел:
5. Положительное число $a$ уменьшили в 3 раза, а положительное число $b$ уменьшили в 2 раза. Как изменится частное $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
6. Положительное число $a$ увеличили на $30 \%$, а положительное число $b$ уменьшили на $30 \%$ как изменится произведение $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
7. Положительное число $a$ увеличили в 3 раза, а положительное число $b$ увеличили на $200 \%$. Как изменится частное $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
8. Отрицательное число $a$ умножили на 3, а положительное число $b$ разделили на $4 .$ Как изменится произведение $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
9. Отрицательное число $a$ возвели в куб, а отрицательное число $b$ возвели в квадрат. Как изменится частное $a$ и $b$?
   • увеличится
   • уменьшится
   • не изменится
   • определить невозможно
10. Из числа $a$ вычли число $b$, а из числа $b$ вычли число $a$. Как изменится частное $a$ и $b$, если эти числа одного знака?
    • увеличится
    • уменьшится
    • не изменится
    • определить невозможно
11. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с прямым углом $C$, сторону $A C$ продлили за точку $C$ на собственную длину до точки $D .$ Угол $A B D$ равен $120^{\circ} .$
    1. Найдите углы треугольника $A B C$.
    2. Через точку $D$ провели прямую, параллельную $A B$, а через точку $B$ прямую, параллельную $A D .$ Эти прямые пересеклись в точке $E .$ Найдите длину отрезка $B E$, если $A C=7 \mathrm{~cm}$.
12. С Диковинного острова в питерский зоопарк завезли Диковинных животных: фрапов, хрулов и мозглов, всего 125 животных. По ошибке их заселили в один вольер, чего было делать нельзя, ведь, как оказалось после:
    - Фрапы с радостью едят хрулов, но брезгуют товарищами по виду и не переносят мозглов;
    - Хрулы не против полакомиться мозглами, брезгуют товарищами по виду и не переваривают фрапов;
    - Мозглы питаются фрапами, как и остальные, брезгуют товарищами по виду и не способны есть хрулов.
    На следующий день в вольере остался один только фрап. Определите, сколько каких Диковинных животных было в вольере и какое животное первым полакомилось своим сожителем, если известно, что каждое из Диковинных животных съедает не больше одного Диковинного животного в неделю.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{1 \frac{3}{8}+1,25}{\left(\frac{3}{2}\right)^{3}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \cdot \frac{15^{3} \cdot 343}{98^{2} \cdot 75} \] Решение: \[ 1 \frac{3}{8} = \frac{11}{8}, \quad 1,25 = \frac{5}{4} \] \[ \frac{11}{8} + \frac{5}{4} = \frac{21}{8} \] \[ \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}, \quad \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \] \[ \frac{27}{8} - \frac{9}{16} = \frac{45}{16} \] \[ \frac{\frac{21}{8}}{\frac{45}{16}} = \frac{21}{8} \cdot \frac{16}{45} = \frac{14}{15} \] Разложим вторую часть: \[ \frac{15^3 \cdot 343}{98^2 \cdot 75} = \frac{(3 \cdot 5)^3 \cdot 7^3}{(2 \cdot 7^2)^2 \cdot (3 \cdot 5^2)} = \frac{3^3 \cdot 5^3 \cdot 7^3}{2^2 \cdot 7^4 \cdot 3 \cdot 5^2} = \frac{3^2 \cdot 5 \cdot 7^{-1}}{2^2} = \frac{45}{28} \] Итоговый результат: \[ \frac{14}{15} \cdot \frac{45}{28} = \frac{3}{2} = 1,5 \] Ответ: $\boxed{1,5}.$
   
   
2. Упростите выражение: \[ \left(\frac{a b+a^{2}}{a^{2}}-\frac{5 b^{2}-4 a b}{b^{2}}\right): \frac{2 a-b}{a} \] Решение: \[ \frac{ab + a^2}{a^2} = \frac{a + b}{a}, \quad \frac{5b^2 - 4ab}{b^2} = 5 - \frac{4a}{b} \] \[ \frac{a + b}{a} - 5 + \frac{4a}{b} = \frac{4a^2 - 4ab + b^2}{ab} = \frac{(2a - b)^2}{ab} \] \[ \frac{(2a - b)^2}{ab} \cdot \frac{a}{2a - b} = \frac{2a - b}{b} \] Подстановка значений:
   1. [a)]
   2. \(a = \frac{1}{2}, b = 1\): \[ \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}{1} = 0 \] Ответ: $\boxed{0}.$
   3. \(a = -0,5, b = -2\): \[ \frac{2 \cdot (-0,5) - (-2)}{-2} = \frac{1}{-2} = -0,5 \] Ответ: $\boxed{-0,5}.$
   
   
   
3. Решите уравнение: \[ (x+1)(2 x+3)(x-1)=(x+2)(x+1)(2 x-1) \] Решение: \[ (x+1)[(2x+3)(x-1) - (x+2)(2x-1)] = 0 \] \[ (x+1)(2x^2 + x - 3 - 2x^2 - 3x + 2) = 0 \] \[ (x+1)(-2x -1) = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ или } x = -\frac{1}{2} \] Ответ: $\boxed{-1}$ и $\boxed{-0,5}.$
   
   
4. Время уборки: 150 минут. Пусть \(x\) — время пылесоски: \[ x + (x + 20) + \frac{x + 20}{2} = 130 \] \[ 2x + 2x + 40 + x + 20 = 260 \Rightarrow 5x = 200 \Rightarrow x = 40 \] Ответ: $\boxed{40}$ минут.
   
   
5. Ответы на вопросы:
   1. Уменьшится. $\boxed{уменьшится}$
   2. Уменьшится. $\boxed{уменьшится}$
   3. Не изменится. $\boxed{не изменится}$
   4. Увеличится. $\boxed{увеличится}$
   5. Определить невозможно. $\boxed{определить невозможно}$
   6. Уменьшится. $\boxed{уменьшится}$
   
   
   
6. Геометрия:
   1. Углы треугольника \(ABC\): \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\). Ответ: $\boxed{30^\circ}$, $\boxed{60^\circ}$, $\boxed{90^\circ}$.
   2. Длина \(BE\): $\boxed{14}$ см.
   
   
   
7. Изначально животных: 42 фрапа, 42 хрула, 41 мозгл. Первым действовал мозгл. Ответ: $\boxed{42}$ фрапа, $\boxed{42}$ хрула, $\boxed{41}$ мозгл; первое съеденное — фрап.