Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2016 год

Вариант 1

1. Вычислите: $ \frac{392 \cdot 81^{3}}{18^{4} \cdot 343}+\left(\frac{6}{17}-1,125\right) \cdot\left(1 \frac{2}{7}+2,6\right) $
2. Разложите на множители многочлен $ m^{4}-4 n^{2}-20 n-25 $ и найдите его значение при а) $m=-2, n=-2 ;$ б) $m=2,5, n=\frac{3}{4} .$
3. Решите уравнение: $ \frac{25-30 x+9 x^{2}}{3 x-5}+\frac{4 x^{2}-28 x+49}{7-2 x}=3 x-5 $
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс сварил 5 литров компота из стрекателек, причём стрекательки занимали $12 \%$ объёма. Головастик Саша решил, что компот слишком наваристый и добавил туда 7 литров чистой воды. Каково стало процентное содержание стрекателек в компоте?
5. Мальш Эрвин прополз путь от душа до бассейна со скоростью 15 м/мин, а потом наматывал круги по бассейну со скоростью 50 м/мин. Весь путь он проделал за 5 минут. Сколько он полз и сколько плыл, если проплыл он на 55 метров больше, чем прополз?
6. В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ медиана $C M=7$, гипотенуза $A B=14 \mathrm{~cm}, \angle C M B=120^{\circ} .$ Найдите а) $\angle B A C ;$ б) катет $A C ;$ в) высоту треугольника $B M C$, опущенную из вершины $M$.
7. Три тираннозаврика Глип, Влип и Блип зарыли свои сокровища на одном острове. Один из них зарыл сокровища возле дерева лимона, другой - банана, а третий - абрикоса. Ёмкость для хранения тоже у каждого была своя: один использовал сундучок, второй - большую морскую ракушку, а третий - кожаный мешочек. Определите, где и в чём хранил свои сокровища каждый из них, если известно, что:
   - Ракушку использовал не Глип;
   - Тот, кто закопал сокровища под абрикосом, использовал мешочек;
   - Блип закопал сундучок, но не под лимоном.

Решения задач

1. Ответ: $-1\frac{6}{7}$.
   
   
2. Ответ: а) 15; б) $-3,1875$.
   
   
3. Ответ: Нет решений.
   
   
4. Ответ: $5\%$.
   
   
5. Ответ: полз 3 мин, плыл 2 мин.
   
   
6. Ответ: а) $60^\circ$; б) 7 см; в) 3,5 см.
   
   
7. Ответ: Блип — банан (сундучок), Влип — лимон (ракушка), Глип — абрикос (мешочек).

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{392 \cdot 81^{3}}{18^{4} \cdot 343}+\left(\frac{6}{17}-1,125\right) \cdot\left(1 \frac{2}{7}+2,6\right) $
   Решение:
   Упростим каждую часть отдельно.
   Первая дробь: \[ \frac{392 \cdot 81^3}{18^4 \cdot 343} = \frac{7^2 \cdot 8 \cdot (9^2)^3}{(2 \cdot 9)^4 \cdot 7^3} = \frac{8 \cdot 9^6}{2^4 \cdot 9^4 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 9^2}{16 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 81}{112} = \frac{648}{112} = \frac{8}{7} \]
   Вторая часть: \[ \left(\frac{6}{17} - \frac{9}{8}\right) \cdot \left(\frac{9}{7} + \frac{13}{5}\right) = \left(\frac{48 - 153}{136}\right) \cdot \left(\frac{45 + 91}{35}\right) = \left(-\frac{105}{136}\right) \cdot \frac{136}{35} = -3 \]
   Итоговый результат: \[ \frac{8}{7} - 3 = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \]
   Ответ: $-1\frac{6}{7}$.
   
   
2. Разложите на множители многочлен $ m^{4}-4 n^{2}-20 n-25 $ и найдите его значение при а) $m=-2, n=-2 ;$ б) $m=2,5, n=\frac{3}{4} .$
   Решение:
   Разложение: \[ m^4 - (4n^2 + 20n + 25) = m^4 - (2n + 5)^2 = (m^2 - 2n - 5)(m^2 + 2n + 5) \]
   а) Подстановка $m=-2, n=-2$: \[ ((-2)^2 - 2(-2) - 5)((-2)^2 + 2(-2) + 5) = (4 + 4 - 5)(4 - 4 + 5) = 3 \cdot 5 = 15 \]
   б) Подстановка $m=2,5, n=\frac{3}{4}$: \[ (6,25 - 1,5 - 5)(6,25 + 1,5 + 5) = (-0,25)(12,75) = -3,1875 \]
   Ответ: а) 15; б) $-3,1875$.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{25-30 x+9 x^{2}}{3 x-5}+\frac{4 x^{2}-28 x+49}{7-2 x}=3 x-5 $
   Решение:
   Упростим дроби: \[ \frac{(3x - 5)^2}{3x - 5} + \frac{(2x - 7)^2}{7 - 2x} = 3x - 5 \quad \Rightarrow \quad (3x - 5) - (7) = 7) = 3x - 5 \]
   Упрощаем: \[ x + 2 = 3x - 5 \quad \Rightarrow \quad 2x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = 3,5 \]
   Проверка: $x = 3,5$ делает знаменатель $7 - 2x = 0$, что недопустимо.
   Ответ: Нет решений.
   
   
4. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс сварил 5 литров компота из стрекателек, причём стрекательки занимали $12 \%$ объёма. Головастик Саша решил, что компот слишком наваристый и добавил туда 7 литров чистой воды. Каково стало процентное содержание стрекателек в компоте?
   Решение:
   Объём стрекателек: $5 \cdot 0,12 = 0,6$ л.
   Новый объём компота: $5 + 7 = 12$ л.
   Процентное содержание: $\frac{0,6}{12} \cdot 100% = 5\%$.
   Ответ: $5\%$.
   
   
5. Мальш Эрвин прополз путь от душа до бассейна со скоростью 15 м/мин, а потом наматывал круги по бассейну со скоростью 50 м/мин. Весь путь он проделал за 5 минут. Сколько он полз и сколько плыл, если проплыл он на 55 метров больше, чем прополз?
   Решение:
   Пусть время ползания — $t$ мин, тогда время плавания — $(5 - t)$ мин.
   Уравнение расстояний: \[ 50(5 - t) - 15t = 55 \quad \Rightarrow \quad 250 - 65t = 55 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \]
   Ответ: полз 3 мин, плыл 2 мин.
   
   
6. В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ медиана $C M=7$, гипотенуза $A B=14 \mathrm{~cm}, \angle C M B=120^{\circ} .$ Найдите а) $\angle B A C ;$ б) катет $A C ;$ в) высоту треугольника $B M C$, опущенную из вершины $M$.
   Решение:
   а) Медиана $CM = \frac{AB}{2} = 7$ см, что подтверждает прямоугольность.
   Используем теорему косинусов в $\triangle CMB$: \[ CB^2 = CM^2 + BM^2 - 2 \cdot CM \cdot BM \cdot \cos 120^\circ = 49 + 49 + 49 = 147 \quad \Rightarrow \quad CB = 7\sqrt{3} \]
   $\angle BAC = \arctg\left(\frac{BC}{AC}\right) = \arctg(\sqrt{3}) = 60^\circ$.
   б) По теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{196 - 147} = 7 \text{ см} \]
   в) Площадь $\triangle BMC$: \[ S = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BM \cdot \sin 120^\circ = \frac{49\sqrt{3}}{4} \]
   Высота $h$ из $M$: \[ h = \frac{2S}{BC} = \frac{49\sqrt{3}/2}{7\sqrt{3}} = \frac{7}{2} \text{ см} \]
   Ответ: а) $60^\circ$; б) 7 см; в) 3,5 см.
   
   
7. Три тираннозаврика Глип, Влип и Блип зарыли свои сокровища на одном острове. Определите, где и в чём хранил свои сокровища каждый из них.
   Решение:
   - Блип закопал сундучок не под лимоном → сундучок под бананом.
   - Под абрикосом — мешочек → мешочек у Влипа или Глипа.
   - Ракушку использовал не Глип → ракушка у Влипа.
   Итог:
   - Блип: банан, сундучок.
   - Влип: лимон, ракушка.
   - Глип: абрикос, мешочек.
   Ответ: Блип — банан (сундучок), Влип — лимон (ракушка), Глип — абрикос (мешочек).