Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2015 год

Вариант 1

1. Вычислите: $ \left(\frac{3}{7}-1,25\right) \cdot\left(1 \frac{2}{3}-1 \frac{1}{5}\right)+\frac{8 \cdot 100^{2}}{5^{3} \cdot 2^{5}} $
2. Разложите на множители многчлен $ m n^{3}-9 m^{3} n $ и найдите его значение при а) $m=1, n=-3 ;$ б) $m=\frac{2}{3}, n=1 \frac{1}{2}$.
3. Решите уравнение: $ \frac{4-9 x^{2}}{2+3 x}+\frac{9 x^{2}-12 x+4}{2-3 x}=8 $
4. Головастик Саша, спасаясь от праведного гнева маленького зелёненького тираннозаврика Рекса, пробежал уже $\frac{1}{5}$ км. Если ему удастся пробежать $40 \%$ этого, то до укрытия в пруду останется всего $\frac{3}{7}$ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Саше?
5. Малыш Эрвин и его подруга Аня наклеили одинаковое количество наклеек на холодильник. Аня наклеила все свои наклейки за семь минут, а Эрвин за четыре, потому что наклеивал на 9 наклеек в минуту больше. По сколько наклеек наклеили Эрвин и Аня?
6. В треугольнике $A B C$ на продолжении стороны $A C$ за точку $C$ отмечена точка $M$ так, что $B C=C M$, а на продолжении стороны $B C$ за точку $C$ отмечена точка $N$ так, что $A C=C N . \angle C M N=\angle C A B, C N=10$ см. Найдите длину стороны $B C$.
7. Однажды Эрвин, Рома и Андрюша заметили, что принесли в детский сад из дома одинаковые игрушечные машинки. У Эрвина дома есть три машинки: машинка с прицепом, есть маленькая машинка и есть зеленая машинка без прицепа. У Ромы есть две машинки: машинка без прицепа и маленькая зеленая с прицепом, a у Андрюши две - большая машинка и маленькая синяя с прицепом. Машинку какого вида (по цвету, размеру и наличию прицепа) принесли мальчики в детский сад? Ответ поясните.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{3}{7}-1,25\right) \cdot\left(1 \frac{2}{3}-1 \frac{1}{5}\right)+\frac{8 \cdot 100^{2}}{5^{3} \cdot 2^{5}} $
   Решение:
   $\left(\frac{3}{7} - \frac{5}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{3} - \frac{6}{5}\right) + \frac{8 \cdot 10^4}{5^3 \cdot 2^5} = \left(-\frac{23}{28}\right) \cdot \frac{7}{15} + \frac{2^7 \cdot 5^4}{5^3 \cdot 2^5} = -\frac{23}{60} + 20 = 19\frac{37}{60}$
   Ответ: $19\frac{37}{60}$.
   
   
2. Разложите на множители многочлен $ m n^{3}-9 m^{3} n $ и найдите его значение при а) $m=1, n=-3 ;$ б) $m=\frac{2}{3}, n=1 \frac{1}{2}$.
   Решение:
   $mn^3 - 9m^3n = mn(n^2 - 9m^2) = mn(n - 3m)(n + 3m)$
   а) $1 \cdot (-3) \cdot (-3 - 3 \cdot 1) \cdot (-3 + 3 \cdot 1) = (-3) \cdot (-6) \cdot 0 = 0$
   б) $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{3}\right) = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{7}{2} = -\frac{7}{4} = -1,75$
   Ответ: а) 0; б) $-1,75$.
   
   
3. Решите уравнение: $ \frac{4-9 x^{2}}{2+3 x}+\frac{9 x^{2}-12 x+4}{2-3 x}=8 $
   Решение:
   $\frac{(2-3x)(2+3x)}{2+3x} + \frac{(2-3x)^2}{2-3x} = 8 \Rightarrow (2-3x) + (2-3x) = 8 \Rightarrow 4 - 6x = 8 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$
   Проверка: $x = -\frac{2}{3}$ обращает знаменатель $2 + 3x$ в ноль. Решений нет.
   Ответ: Нет решений.
   
   
4. Головастик Саша, спасаясь от праведного гнева маленького зелёненького тираннозаврика Рекса, пробежал уже $\frac{1}{5}$ км. Если ему удастся пробежать $40 \%$ этого, то до укрытия в пруду останется всего $\frac{3}{7}$ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Саше?
   Решение:
   $40\%$ от $\frac{1}{5}$ км: $0,4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{25}$ км
   Всего пробежал: $\frac{1}{5} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25}$ км
   Остаток: $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{25} = \frac{3}{25}$ км
   Ответ: $\frac{3}{25}$ км.
   
   
5. Малыш Эрвин и его подруга Аня наклеили одинаковое количество наклеек на холодильник. Аня наклеила все свои наклейки за семь минут, а Эрвин за четыре, потому что наклеивал на 9 наклеек в минуту больше. По сколько наклеек наклеили Эрвин и Аня?
   Решение:
   Пусть $x$ — скорость Ани (накл./мин), тогда скорость Эрвина $x + 9$.
   $7x = 4(x + 9) \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$
   Всего наклеек: $7 \cdot 12 = 84$
   Ответ: По 84 наклейки.
   
   
6. В треугольнике $A B C$ на продолжении стороны $A C$ за точку $C$ отмечена точка $M$ так, что $B C=C M$, а на продолжении стороны $B C$ за точку $C$ отмечена точка $N$ так, что $A C=C N . \angle C M N=\angle C A B, C N=10$ см. Найдите длину стороны $B C$.
   Решение:
   Из подобия треугольников $CAB$ и $CMN$:
   $\frac{BC}{AC} = \frac{CM}{CN} \Rightarrow \frac{x}{10} = \frac{x}{10} \Rightarrow x = 10$ см
   Ответ: 10 см.
   
   
7. -