Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2013 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2013 год

Вариант 1

1. Вычислите: $ \left(\frac{3}{5}\right)^{2}-\frac{3^{4}}{21^{3}}: \frac{3^{2}}{7^{3}}+\frac{2^{2}}{5} $
2. Упростите выражение $ (2 a-3) \cdot \frac{4 a^{2}-9}{4 a^{2}+12 a+9}:\left(4 a^{2}-12 a+9\right) $ и найдите его значение при а) $a=-\frac{1}{3} ;$ б) $a=\frac{3}{2}$.
3. Разложите на множители многчлен $ m^{8}+8 m^{4}+7 $ и найдите его значение при $m=2$.
4. Решите уравнение: $ (2 x+7)(3 x-1)-(5 x-1)(x+3)=(x+1)^{2} $
5. Если малыш Эрвин днём спал, то ночью он будет спать в $1.2$ раза меньше, чем если бы он забыл поспать днём. Сколько малыш Эрвин спит днём (когда спит), если известно, что суммарное количество сна за сутки у него не меняется, причём оно равно суммарному количеству бодрствования?
6. Ниже перечислены пять определений. Укажите, какие из них неверны. Для каждого неверного определения приведите пример (в виде рисунка или словесного описания), который точно соответствует написанному, но не является при этом определяемым объектом. Напишите верные определения.
   Пример: Определение: Луч - это множество точек прямой, лежащих по одну сторону от точки данной прямой, именуемой началом луча.
   Пример рисунка:
   Верное определение: Луч - это множество всех точек прямой, лежащих по одну сторону от точки данной прямой, именуемой началом луча.
   1. Угол-это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало.
   2. Тупой угол - это угол больший прямого.
   3. Разносторонний треугольник - треугольник, у которого две стороны не равны между собой.
   4. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
   5. Внешний угол трегольника - это угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны.
7. Аня написала на бумажке числа 1 и $a$; Боря -- $a, b$ и 3; Саша написал 2,4 и $c$, Дима -- $a, b$ и 4 , а Егор написал четыре числа $a, b, c, d$. Все, что написала Аня, написал и Дима, а все, что написано у Бори, Саши и Димы, можно найти и у Егора. Найдите, чему равны числа $a, b, c, d$.

Решения задач

1. Вычислите: $ \left(\frac{3}{5}\right)^{2}-\frac{3^{4}}{21^{3}}: \frac{3^{2}}{7^{3}}+\frac{2^{2}}{5} $
   Решение:
   $\left(\frac{9}{25}\right) - \frac{81}{9261} : \frac{9}{343} + \frac{4}{5} = \frac{9}{25} - \frac{81}{9261} \cdot \frac{343}{9} + \frac{4}{5}$
   Упростим второе слагаемое:
   $\frac{81}{9261} = \frac{9}{1029}$, $\frac{343}{9} = \frac{7^3}{9}$
   $\frac{9}{1029} \cdot \frac{343}{9} = \frac{343}{1029} = \frac{7^3}{7 \cdot 147} = \frac{49}{147} = \frac{1}{3}$
   Теперь выражение:
   $\frac{9}{25} - \frac{1}{3} + \frac{4}{5} = \frac{9}{25} + \frac{20}{25} - \frac{25}{75} = \frac{29}{25} - \frac{5}{15} = \frac{29}{25} - \frac{1}{3} = \frac{87 - 25}{75} = \frac{62}{75}$
   Ответ: $\frac{62}{75}$.
   
   
2. Упростите выражение $ (2 a-3) \cdot \frac{4 a^{2}-9}{4 a^{2}+12 a+9}:\left(4 a^{2}-12 a+9\right) $
   Решение:
   Разложим на множители:
   $4a^2 - 9 = (2a - 3)(2a + 3)$
   $4a^2 + 12a + 9 = (2a + 3)^2$
   $4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$
   Подставим в выражение:
   $(2a - 3) \cdot \frac{(2a - 3)(2a + 3)}{(2a + 3)^2} : (2a - 3)^2 = \frac{(2a - 3)^2(2a + 3)}{(2a + 3)^2} \cdot \frac{1}{(2a - 3)^2} = \frac{1}{2a + 3}$
   а) При $a = -\frac{1}{3}$:
   $\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{3}) + 3} = \frac{1}{-\frac{2}{3} + 3} = \frac{1}{\frac{7}{3}} = \frac{3}{7}$
   б) При $a = \frac{3}{2}$:
   $\frac{1}{2 \cdot \frac{3}{2} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$
   Ответ: а) $\frac{3}{7}$; б) $\frac{1}{6}$.
   
   
3. Разложите на множители многочлен $ m^{8}+8 m^{4}+7 $
   Решение:
   Представим как квадратный трёхчлен относительно $m^4$:
   $m^8 + 8m^4 + 7 = (m^4)^2 + 8m^4 + 7 = (m^4 + 1)(m^4 + 7)$
   При $m = 2$:
   $(2^4 + 1)(2^4 + 7) = (16 + 1)(16 + 7) = 17 \cdot 23 = 391$
   Ответ: $(m^4 + 1)(m^4 + 7)$; значение при $m=2$ равно 391.
   
   
4. Решите уравнение: $ (2 x+7)(3 x-1)-(5 x-1)(x+3)=(x+1)^{2} $
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(6x^2 - 2x + 21x - 7) - (5x^2 + 15x - x - 3) = x^2 + 2x + 1$
   Упростим:
   $6x^2 + 19x - 7 - 5x^2 - 14x + 3 = x^2 + 2x + 1$
   $x^2 + 5x - 4 = x^2 + 2x + 1$
   $3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$
   Ответ: $\frac{5}{3}$.
   
   
5. Если малыш Эрвин днём спал, то ночью он будет спать в $1.2$ раза меньше, чем если бы он забыл поспать днём. Сколько малыш Эрвин спит днём (когда спит), если известно, что суммарное количество сна за сутки у него не меняется, причём оно равно суммарному количеству бодрствования?
   Решение:
   Пусть дневной сон — $x$ часов. Тогда ночной сон при наличии дневного: $\frac{x}{1.2}$ часов. Без дневного сна ночной сон: $x \cdot 1.2$ часов.
   Суммарный сон за сутки равен 12 часов (так как равен бодрствованию). Составим уравнение:
   $x + \frac{x}{1.2} = 12$
   Умножим на 1.2:
   $1.2x + x = 14.4 \Rightarrow 2.2x = 14.4 \Rightarrow x = \frac{14.4}{2.2} = \frac{144}{22} = \frac{72}{11} \approx 6.545$ часов
   Ответ: $\frac{72}{11}$ часа.
   
   
6. Неверные определения:
   1. Угол — не указано, что лучи не лежат на одной прямой. Пример: два совпадающих луча.
   Верное: Угол — фигура из двух лучей с общим началом, не лежащих на одной прямой.
   3. Разносторонний треугольник — определение должно требовать, чтобы все три стороны были разными. Пример: треугольник со сторонами 3,4,4.
   Верное: Треугольник, у которого все стороны разной длины.
   Остальные определения верны.
   
   
7. Найдите числа $a, b, c, d$:
   Решение:
   Из условия:
   Аня: {1, a}; Дима: {a, b, 4} ⇒ 1 ∈ Димы ⇒ a = 1.
   Боря: {1, b, 3}; Саша: {2,4,c}; Дима: {1, b,4}; Егор: {1, b, c, d}.
   Из Бори и Димы: b = 3 (т.к. у Бори есть 3).
   Из Саши: c = 2 (т.к. у Саши 2 и 4).
   У Егора: d — новое число, не упомянутое ранее ⇒ d может быть любым, но по условию задачи, вероятно, требуется минимальные уникальные значения. Однако из условия задачи следует, что все числа у Егора уже есть у других, значит d должно совпадать с существующими. Противоречие. Вероятно, d = 4 (из Димы) или 2 (из Саши). Но точное значение не определяется условием. Возможно, в задаче подразумевается, что все числа уникальны, тогда d = 4 (уже есть у Димы) или другое. Уточнение требуется, но по стандартной логике: a=1, b=3, c=2, d=4.
   Ответ: $a=1$, $b=3$, $c=2$, $d=4$.