Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2012 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2012 год

Вариант 1

1. Решите уравнение: $ \frac{3}{7} x-1 \frac{1}{3}=0.2 x+1.6 $
2. Упростите: $ \left(\frac{a-5}{a+5}+\frac{a+5}{a-5}\right) \cdot\left(1-\frac{50}{a^{2}+25}\right) . $
3. Точки $A, O$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ расположена между точками $A$ и $C$, а точки $B$ и $D$ не лежат на этой прямой. Угол $A O D$ равен $70^{\circ}$, угол $B O D$ равен $50^{\circ} .$ Чему равен угол $B O C ?$
4. Решите уравнение: $ \frac{9 x^{2}-4}{3 x+2}+6 x=-8 $
5. Один биолог, исследуя маленький остров в Северном ледовитом океане, выяснил, что на нем живут бушки, уузки и ыги. Проведя на острове месяц, он обнаружил, что:
   1. Если ыгу дернуть за хвост, то она успокоится.
   2. Если уузку дёрнуть за хвост, она обрадуется.
   3. Обрадованная уузка плюкает ыгу.
   4. Если бушку шмурдить, то она будет урдеть.
   5. Спокойная ыга шмурдит бушку.
   На полянке сидят беспокойная ыга, безрадостная уузка и неурдящая бушка. Что должен сделать биолог, чтобы бушка начала урдеть?
   
   Комментарий: Как выглядят и существуют ли вообще в природе вышеперечисленные представители фауны, для решения задачи знать не обязательно. Предполагается, что они умеют делать все указанные действия, а также, что биолог может дёргать за хвост, но не может плюкать, шмурдить и урдеть.
6. Малыш Эрвин может построить большую башню за полчаса, его друг Саня тратит на строительство такой же башни в три раза меньше времени, чем Эрвин, а его друг Егор - в полтора раза больше времени, чем Саня. За какое время они построят эту башню вместе?
7. Вычислите: $ \frac{6^{2012}-3^{2012}}{9^{1006}}+\frac{9^{2012}-18^{2012}}{3^{4024}} $

Решения задач

1. Решите уравнение: $\frac{3}{7} x-1 \frac{1}{3}=0.2 x+1.6$
   Решение:
   Переведём смешанные и десятичные дроби в обыкновенные:
   $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, $0.2 = \frac{1}{5}$, $1.6 = \frac{8}{5}$
   Уравнение примет вид:
   $\frac{3}{7}x - \frac{4}{3} = \frac{1}{5}x + \frac{8}{5}$
   Умножим все члены на 105 (НОК 7, 3, 5):
   $45x - 140 = 21x + 168$
   $24x = 308$
   $x = \frac{308}{24} = \frac{77}{6} = 12\frac{5}{6}$
   Ответ: $\frac{77}{6}$ или $12\frac{5}{6}$.
2. Упростите: $\left(\frac{a-5}{a+5}+\frac{a+5}{a-5}\right) \cdot\left(1-\frac{50}{a^{2}+25}\right)$
   Решение:
   Упростим первую скобку:
   $\frac{(a-5)^2 + (a+5)^2}{(a+5)(a-5)} = \frac{2a^2 + 50}{(a+5)(a-5)}$
   Упростим вторую скобку:
   $1 - \frac{50}{a^2 +25} = \frac{a^2 -25}{a^2 +25}$
   Перемножим результаты:
   $\frac{2(a^2 +25)}{(a+5)(a-5)} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{a^2 +25} = 2$
   Ответ: 2.
3. Точки $A, O$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $O$ расположена между точками $A$ и $C$, а точки $B$ и $D$ не лежат на этой прямой. Угол $A O D$ равен $70^{\circ}$, угол $B O D$ равен $50^{\circ}$. Чему равен угол $B O C$?
   Решение:
   Угол $DOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
   Угол $BOC = \angle BOD + \angle DOC = 50^{\circ} + 110^{\circ} = 160^{\circ}$.
   Ответ: $160^{\circ}$.
4. Решите уравнение: $\frac{9 x^{2}-4}{3 x+2}+6 x=-8$
   Решение:
   Разложим числитель дроби:
   $\frac{(3x-2)(3x+2)}{3x+2} = 3x-2$ (при $3x+2 \neq 0$)
   Уравнение принимает вид:
   $3x - 2 + 6x = -8$
   $9x = -6$
   $x = -\frac{2}{3}$
   Проверка ОДЗ: $3x+2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$ — недопустимо.
   Ответ: Нет решений.
5. Один биолог, исследуя маленький остров в Северном ледовитом океане, выяснил, что на нем живут бушки, уузки и ыги. Проведя на острове месяц, он обнаружил, что:
   1. Если ыгу дернуть за хвост, то она успокоится.
   2. Если уузку дёрнуть за хвост, она обрадуется.
   3. Обрадованная уузка плюкает ыгу.
   4. Если бушку шмурдить, то она будет урдеть.
   5. Спокойная ыга шмурдит бушку.
   На полянке сидят беспокойная ыга, безрадостная уузка и неурдящая бушка. Что должен сделать биолог, чтобы бушка начала урдеть?
   Решение:
   Биолог должен дёрнуть ыгу за хвост. Это сделает её спокойной (п.1). Спокойная ыга шмурдит бушку (п.5), что заставит бушку урдеть (п.4).
   Ответ: Дёрнуть ыгу за хвост.
6. Малыш Эрвин может построить большую башню за полчаса, его друг Саня тратит на строительство такой же башни в три раза меньше времени, чем Эрвин, а его друг Егор - в полтора раза больше времени, чем Саня. За какое время они построят эту башню вместе?
   Решение:
   Производительности:
   Эрвин: $\frac{1}{0.5} = 2$ башни/час
   Саня: $\frac{1}{0.5/3} = 6$ башен/час
   Егор: $\frac{1}{(0.5/3) \cdot 1.5} = 4$ башни/час
   Совместная скорость: $2 + 6 + 4 = 12$ башен/час
   Время: $\frac{1}{12}$ часа = 5 минут
   Ответ: 5 минут.
7. Вычислите: $\frac{6^{2012}-3^{2012}}{9^{1006}}+\frac{9^{2012}-18^{2012}}{3^{4024}}$
   Решение:
   Первое слагаемое:
   $\frac{6^{2012} - 3^{2012}}{9^{1006}} = \frac{3^{2012}(2^{2012} -1)}{3^{2012}} = 2^{2012} -1$
   Второе слагаемое:
   $\frac{9^{2012} - 18^{2012}}{3^{4024}} = \frac{3^{4024} - 2^{2012} \cdot 3^{4024}}{3^{4024}} = 1 - 2^{2012}$
   Сумма:
   $(2^{2012} -1) + (1 -2^{2012}) = 0$
   Ответ: 0.