Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2010 год(вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2010 год

Вариант 1

1. Вычислите: а) $1-\frac{2}{3-\frac{1}{2-\frac{1}{3}}} ;$ б) $\left(\frac{6^{2}-3^{3}}{5^{3}}\right)^{13}: \frac{\left(6^{2}-3^{3}\right)^{12}}{\left(5^{6}\right)^{6}}$
2. Решите уравнение: $$ \frac{(2,4-7 x)(x-1,2)}{1,2-x}=\frac{(2 x+3,2)(2 x+0,6)}{x+1,6} $$
3. Найдите значения выражения $$ \frac{9 p^{2}-24 p q+16 q^{2}}{9 p^{2}-16 q^{2}} $$ при а) $p=-5, q=3$; б) $p=\frac{5}{3}, q=1,25$.
4. За первый месяц малыш Эрвин потяжелел на $25 \%$ от своего веса при рождении. Во второй месяц жизни он питался лучше и потяжелел на $30 \%$ от своего нового веса. Продолжая хорошо питаться, он набрал за третий месяц жизни 1170 граммов и стал весить 6240 граммов. Сколько весил малыш Эрвин при рождении и на сколько процентов он поправился за три месяца?
5. Укажите, какие пары значений $x$ и $y$ являются корнями уравнения $$ 25 x^{2}+10 x y+y^{2}=4 x^{2}+12 x y+9 y^{2} $$
   • $x=\frac{1}{3}, y=\frac{1}{2} ;$
   • $x=-1, y=1$;
   • $x=2, y=3$.
6. В равнобедренном треугольнике $A B C(A B=B C)$ проведена высота $B H$. Оказалось, что $2 B H=A C$. Найдите все углы треугольника.
7. Однажды в комнате находились люди, каждый из которых был либо лжецом (лжецы всегда лгут), либо рыцарем (рыцари всегда говорят правду), трое из них произнесли по два высказывания:
   Первый: "Нас тут не больше трех человек. Все мы - лжецы";
   Второй: "Нас тут не больше четырех человек. Не все мы лжецы";
   Третий: "Нас тут пятеро. Трое из нас лжецы".
   Сколько человек в комнате и сколько среди них лжецов?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $1-\frac{2}{3-\frac{1}{2-\frac{1}{3}}}$
      Решение:
      Последовательно упростим вложенные дроби:
      $2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
      $2 - \frac{1}{\frac{5}{3}} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$
      $3 - \frac{1}{\frac{7}{5}} = 3 - \frac{5}{7} = \frac{16}{7}$
      $\frac{2}{\frac{16}{7}} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$
      $1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$
      Ответ: $\frac{1}{8}$.
      
      
   2. Вычислите: $\left(\frac{6^{2}-3^{3}}{5^{3}}\right)^{13}: \frac{\left(6^{2}-3^{3}\right)^{12}}{\left(5^{6}\right)^{6}}$
      Решение:
      Упростим выражение:
      $6^2 - 3^3 = 36 - 27 = 9$
      $5^3 = 125$
      $\left(\frac{9}{125}\right)^{13} : \frac{9^{12}}{5^{36}} = \frac{9^{13}}{125^{13}} \cdot \frac{5^{36}}{9^{12}} = 9^{1} \cdot 5^{-3} = \frac{9}{125}$
      Ответ: $\frac{9}{125}$.
   
   
   
2. Решите уравнение: $ \frac{(2,4-7 x)(x-1,2)}{1,2-x}=\frac{(2 x+3,2)(2 x+0,6)}{x+1,6} $
   Решение:
   ОДЗ: $x \neq 1,2$, $x \neq -1,6$
   Упростим левую часть:
   $\frac{(2,4-7x)(x-1,2)}{-(x-1,2)} = -(2,4-7x)$
   Получаем уравнение:
   $-(2,4-7x)(x+1,6) = (2x+3,2)(2x+0,6)$
   Раскроем скобки:
   $-2,4x -3,84 +7x^2 +11,2x = 4x^2 +7,6x +1,92$
   $7x^2 +8,8x -3,84 = 4x^2 +7,6x +1,92$
   $3x^2 +1,2x -5,76 = 0$
   Умножим на 100: $300x^2 +120x -576 = 0$
   Делим на 12: $25x^2 +10x -48 = 0$
   Дискриминант: $D = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$
   Корни: $x = \frac{-10 \pm 70}{50}$
   $x_1 = 1,2$ (не входит в ОДЗ), $x_2 = -1,6$ (не входит в ОДЗ)
   Ответ: Нет решений.
   
   
3. Найдите значения выражения $ \frac{9 p^{2}-24 p q+16 q^{2}}{9 p^{2}-16 q^{2}} $
   Решение:
   Упростим выражение:
   Числитель: $(3p -4q)^2$
   Знаменатель: $(3p -4q)(3p +4q)$
   $\frac{(3p -4q)^2}{(3p -4q)(3p +4q)} = \frac{3p -4q}{3p +4q}$
   1. При $p=-5$, $q=3$:
      $\frac{3(-5) -4(3)}{3(-5) +4(3)} = \frac{-15 -12}{-15 +12} = \frac{-27}{-3} = 9$
      Ответ: 9.
      
      
   2. При $p=\frac{5}{3}$, $q=1,25$:
      $\frac{3(\frac{5}{3}) -4(1,25)}{3(\frac{5}{3}) +4(1,25)} = \frac{5 -5}{5 +5} = \frac{0}{10} = 0$
      Ответ: 0.
   
   
   
4. Вес при рождении: $x$ граммов.
   После первого месяца: $1,25x$
   После второго месяца: $1,25x \cdot 1,3 = 1,625x$
   После третьего месяца: $1,625x +1170 =6240$
   $1,625x =5070 \Rightarrow x = \frac{5070}{1,625} =3120$ г
   Общий набор веса: $6240 -3120 =3120$ г
   Процент набора: $\frac{3120}{3120} \cdot 100% =100\%$
   Ответ: 3120 г, 100\%.
   
   
5. Уравнение: $25x^2 +10xy +y^2 =4x^2 +12xy +9y^2$
   Упростим: $21x^2 -2xy -8y^2 =0$
   Решение: $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ или $\frac{x}{y} = -\frac{4}{7}$
   • $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{1}{2}$: $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ — подходит
   • $x=-1$, $y=1$: $\frac{x}{y} = -1$ — не подходит
   • $x=2$, $y=3$: $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ — подходит
   Ответ: Первая и третья пары.
   
   
6. В треугольнике $ABC$ ($AB=BC$), высота $BH$, $2BH=AC$
   $BH = \frac{AC}{2}$, $AH = HC = \frac{AC}{2}$
   Треугольник $ABH$ — прямоугольный равнобедренный $\Rightarrow \angle ABC =90^\circ$
   Углы: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$
   Ответ: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.
   
   
7. Анализ высказываний:
   • Первый — лжец (иначе противоречие)
   • Второй — рыцарь (иначе противоречие)
   • Третий — лжец (иначе противоречие)
   Всего 4 человека: 2 лжеца (первый, третий), 2 рыцаря (второй, четвертый)
   Ответ: 4 человека, 2 лжеца.