Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2020 год (вариант 1)

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2020 год

Вариант 1

Калькуляторами пользоваться воспрещается!

1. Вычислите: $ \frac{9^{8}}{12^{5} \cdot 2^{5}} \cdot \frac{2^{13}-2^{12}+3 \cdot 2^{11}}{27^{3}} $
2. Дано выражение $\Psi$ : $ \Psi=\left(\frac{a^{2}-4 a b+4 b^{2}}{a^{2}-4 b^{2}}+\frac{10 b}{2 a+4 b}\right): \frac{a^{2}-9 b^{2}}{2 b+a} . $
   1. Упростите выражение $\Psi$.
   2. Вычислите значение выражения $\Psi$ при $a=1, b=\frac{1}{2}$.
   3. Вычислите значение выражения $\Psi$ при $a=2, b=3$.
3. Решите уравнения:
   1. $\frac{x+1}{3}+\frac{x}{2}-2 x=\frac{5-x}{4}$;
   2. $(x+3)^{2}-(2 x+3)(2 x-1)=(x+2)(1-3 x)$;
   3. $(x+2)(x-2)=\frac{(x+2)\left(x^{2}+2\right)}{x}$.
4. Эрвин со своим другом Егором собирают в лесу чернику. Первые 75 минут они собирали чернику вместе и в результате наполнили $\frac{11}{20}$ большого ведра. После этого Әрвину надоело собирать чернику, и он пошел разводить костер и ставить палатку, а Егор собирал чернику еще 135 минут и в итоге наполнил ведро. За какое время каждый из них по отдельности мог бы наполнить это же ведро черникой?
5. В магазине «Все для непутевых математиков», потратив одно и то же количество денег, можно купить 8 олимпиадных заданий по теме «Логарифмы» или 15 олимпиадных заданий по теме «Тригонометрия». На сколько процентов 9 олимпиадных заданий по теме «Тригонометрия» дороже 4 олимпиадных заданий по теме «Логарифмы»?
6. В треугольнике $A B C$ градусные меры углов относятся как $\angle A: \angle B: \angle C=3: 7: 8$, а сторона $A B=7$. Через вершину $B$ провели прямую, параллельную $A C$, и отметили на ней точку $D$ так, что $B D=A C$, а отрезок $D C$ пересекает отрезок $A B$ в точке $M . B L$ - биссектриса треугольника $A B C, D N$ - биссектриса треугольника $A D B$, прямые $B L$ и $D N$ пересекаются в точке $H .$ Найдите а) $A M ;$ б) $\angle A D B ;$ в) $\angle D H B .$
7. Тираннозаврик Рекс планирует полакомиться 36 сушеными головастиками. Пачка сушенных головастиков стоит целое число крексов (крексы и руксы - валюта тираннозавриков). Он посчитал, сколько ему для этого понадобится денег, однако его сестра заметила, что он неправ: по мнению Рекса, в пачке 9 головастиков, а не 6, как на самом деле. Поэтому необходимая сумма увеличилась на 1 рукс и 40 крексов. Когда что поняла, что дети думают, что в одном руксе всего лишь 60 крексов, хотя на самом деле 100. Сколько стоит одна пачка сушеных головастиков?

Решения задач

1. Вычислите: $ \frac{9^{8}}{12^{5} \cdot 2^{5}} \cdot \frac{2^{13}-2^{12}+3 \cdot 2^{11}}{27^{3}} $
   Решение:
   Упростим каждую часть отдельно:
   $\frac{9^{8}}{12^{5} \cdot 2^{5}} = \frac{(3^2)^8}{(3 \cdot 2^2)^5 \cdot 2^5} = \frac{3^{16}}{3^5 \cdot 2^{15}} = \frac{3^{11}}{2^{15}}$
   Числитель второй дроби:
   $2^{13} - 2^{12} + 3 \cdot 2^{11} = 2^{11}(2^2 - 2 + 3) = 2^{11} \cdot 5$
   Знаменатель второй дроби:
   $27^{3} = (3^3)^3 = 3^9$
   Перемножим части:
   $\frac{3^{11}}{2^{15}} \cdot \frac{2^{11} \cdot 5}{3^9} = \frac{3^2 \cdot 5}{2^4} = \frac{45}{16} = 2\frac{13}{16}$
   Ответ: $\frac{45}{16}$.
   
   
2. Дано выражение $\Psi$:
   $\Psi=\left(\frac{a^{2}-4 a b+4 b^{2}}{a^{2}-4 b^{2}}+\frac{10 b}{2 a+4 b}\right): \frac{a^{2}-9 b^{2}}{2 b+a}$
   1. Упростите выражение $\Psi$:
      Решение:
      $\frac{a^2 - 4ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{(a - 2b)^2}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a - 2b}{a + 2b}$
      $\frac{10b}{2a + 4b} = \frac{5b}{a + 2b}$
      Сумма дробей:
      $\frac{a - 2b}{a + 2b} + \frac{5b}{a + 2b} = \frac{a + 3b}{a + 2b}$
      Деление на третью дробь:
      $\frac{a + 3b}{a + 2b} : \frac{(a - 3b)(a + 3b)}{a + 2b} = \frac{1}{a - 3b}$
      Ответ: $\Psi = \frac{1}{a - 3b}$.
      
      
   2. Вычислите значение выражения $\Psi$ при $a=1, b=\frac{1}{2}$:
      Решение:
      $\Psi = \frac{1}{1 - 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 - 1,5} = -2$
      Ответ: $-2$.
      
      
   3. Вычислите значение выражения $\Psi$ при $a=2, b=3$:
      Решение:
      $\Psi = \frac{1}{2 - 3 \cdot 3} = \frac{1}{2 - 9} = -\frac{1}{7}$
      Ответ: $-\frac{1}{7}$.
   
   
   
3. Решите уравнения:
   1. $\frac{x+1}{3}+\frac{x}{2}-2 x=\frac{5-x}{4}$
      Решение:
      Умножим обе части на 12:
      $4(x + 1) + 6x - 24x = 3(5 - x)$
      $-14x + 4 = 15 - 3x$
      $-11x = 11 \Rightarrow x = -1$
      Ответ: $-1$.
      
      
   2. $(x+3)^{2}-(2 x+3)(2 x-1)=(x+2)(1-3 x)$
      Решение:
      Раскроем скобки:
      $-3x^2 + 2x + 12 = -3x^2 -5x + 2$
      $7x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{7}$
      Ответ: $-\frac{10}{7}$.
      
      
   3. $(x+2)(x-2)=\frac{(x+2)\left(x^{2}+2\right)}{x}$
      Решение:
      $(x + 2)\left(x - 2 - \frac{x^2 + 2}{x}\right) = 0$
      $x = -2$ или $-2x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1$
      Ответ: $-2$, $-1$.
   
   
   
4. Эрвин и Егор собирают чернику:
   Решение:
   Пусть Эрвин наполняет ведро за $A$ минут, Егор — за $B$ минут.
   Совместная работа: $75\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) = \frac{11}{20}$
   Работа Егора: $135 \cdot \frac{1}{B} = \frac{9}{20} \Rightarrow B = 300$ минут.
   Подставим $B = 300$:
   $75\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{300}\right) = \frac{11}{20} \Rightarrow A = 250$ минут.
   Ответ: Эрвин — 250 минут, Егор — 300 минут.
   
   
5. Процентная разница в стоимости:
   Решение:
   Цена логарифма $L = \frac{15T}{8}$.
   Сравнение: $9T$ и $4L = 7,5T$.
   Разница: $\frac{1,5T}{7,5T} \cdot 100% = 20\%$
   Ответ: на 20\%.
   
   
6. -
   
   
7. Стоимость пачки головастиков:
   Решение:
   Разница в стоимости: $2x = 140$ крексов (1 рукс 40 крексов при реальном курсе).
   $x = 70$ крексов.
   Ответ: 70 крексов.