Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2019 год (вариант 1)
youit.school ©
АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)
2019 год
Вариант 1
Калькуляторами пользоваться воспрещается!
- Вычислите: $ \frac{50^{6} \cdot 10^{4}}{125^{5} \cdot 8^{3}}:\left(2,2-1 \frac{3}{4}\right) $
- У простите выражение: $ \left(\frac{9 a^{2}+6 a b+b^{2}}{9 a^{2}-b^{2}}-\frac{2 a^{2}}{3 a^{2}-a b}\right): \frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{b-3 a} $ и вычислите значение выражения при а) $a=\frac{1}{3}, b=\frac{3}{4} ;$ б) $a=1, b=3$.
- Решите уравнение: $ \frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=\frac{3 x}{x+5} $
- Ребенок Эрвин иногда ходит, но чаще все же бегает. Обычно он бежит в школу от метро, но в прошлый вторник был очень задумчив с утра, поэтому шел пешком со скоростью 4 км/ч. В итоге от метро до школы он добирался на 18 минут дольше, чем обычно. Найдите расстояние от метро до школы, если ребенок Эрвин бегает в 2,5 раза быстрее, чем ходит.
- Учитель Аничкова лицея провел сразу несколько контрольных работ в нескольких классах, и в итоге вечером ему предстояло проверить большую стопку работ. Сначала он проверил пятую часть всех работ и решил выпить кофе. Потом он проверил $60 \%$ оставшихся работ и понял, что надо перекусить сырниками. После сырников он проверил еще 23 работы и стал смотреть мультики. Сколько изначально было работ, если после мультиков он проверил оставшиеся $17 ?$
- В прямоугольном треугольнике $A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)$ продлили катет $B C$ за точку $C$ до точки $D$, так что $B C=C D .$ После этого выбрали точку $F$ на прямой $A D$ так, что $B F \| A C .$ И в получившемся треугольнике $A B F$ провели биссектрису $B P .$ Известно, что $\angle A D C=42^{\circ}$. Найдите: а) $\angle A B C$; б) $\angle B F A$; в) $\angle B P A$.
- В саду у Ушки растут вламы и карцы (очень красивые, к слову, цветы). Они растут в ее саду уже не один год и за это время так сблизились, что стали зависеть друга от друга: - каждый раз, когда пропадает один карц, вырастает две вламы; - каждый раз, когда вырастает одна влама, вырастает также и один карц. В понедельник Ушка реш ила, что хочет завтракать и смотреть на свои цветы в вазе, поэтому сорвала и поставила на стол один цветок карца. Во вторник, среду, четверг и пятницу она также срывала по одному цветку карца и добавляла их в букет. В субботу утром она решила сорвать один цветок вламы, а после пересчитала свои цветы . Оказалось, что в субботу днем в ее саду росло 27 влам и 23 карца. Сколько каких цветов было в саду у Ушки до того, как она сорвала первый цветок в понедельник?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
$
\frac{50^{6} \cdot 10^{4}}{125^{5} \cdot 8^{3}}:\left(2,2-1 \frac{3}{4}\right)
$
Решение:
Упростим дробь:
$\frac{(2 \cdot 5^2)^6 \cdot (2 \cdot 5)^4}{(5^3)^5 \cdot (2^3)^3} = \frac{2^{6} \cdot 5^{12} \cdot 2^{4} \cdot 5^{4}}{5^{15} \cdot 2^{9}} = \frac{2^{10} \cdot 5^{16}}{5^{15} \cdot 2^{9}} = 2^{1} \cdot 5^{1} = 10$
Вычислим выражение в скобках:
$2,2 - 1\frac{3}{4} = 2,2 - 1,75 = 0,45 = \frac{9}{20}$
Итоговый результат:
$10 : \frac{9}{20} = 10 \cdot \frac{20}{9} = \frac{200}{9}$
Ответ: $\frac{200}{9}$.
- Упростите выражение:
$
\left(\frac{9 a^{2}+6 a b+b^{2}}{9 a^{2}-b^{2}}-\frac{2 a^{2}}{3 a^{2}-a b}\right): \frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{b-3 a}
$
Решение:
Упростим выражение в скобках:
$\frac{(3a + b)^2}{(3a - b)(3a + b)} - \frac{2a^2}{a(3a - b)} = \frac{3a + b}{3a - b} - \frac{2a}{3a - b} = \frac{a + b}{3a - b}$
Разделим на вторую дробь:
$\frac{a + b}{3a - b} : \frac{(a + b)^2}{b - 3a} = \frac{a + b}{3a - b} \cdot \frac{-(3a - b)}{(a + b)^2} = -\frac{1}{a + b}$
а) При $a = \frac{1}{3}, b = \frac{3}{4}$:
$-\frac{1}{\frac{1}{3} + \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{13}{12}} = -\frac{12}{13}$
б) При $a = 1, b = 3$:
$-\frac{1}{1 + 3} = -\frac{1}{4}$
Ответ: а) $-\frac{12}{13}$; б) $-\frac{1}{4}$.
- Решите уравнение:
$
\frac{x^{2}-x}{x^{2}-1}=\frac{3 x}{x+5}
$
Решение:
Упростим левую часть:
$\frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x}{x + 1}$ (при $x \neq 1$)
Уравнение принимает вид:
$\frac{x}{x + 1} = \frac{3x}{x + 5}$
Переносим все в левую часть:
$\frac{x(x + 5) - 3x(x + 1)}{(x + 1)(x + 5)} = 0$
Упрощаем числитель:
$-2x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 1$ (исключаем $x = 1$)
Ответ: $x = 0$.
- Найдите расстояние от метро до школы.
Решение:
Пусть расстояние $S$ км. Скорость бега $2,5 \cdot 4 = 10$ км/ч.
Разница во времени:
$\frac{S}{4} - \frac{S}{10} = 0,3$ часа
Решаем уравнение:
$\frac{3S}{20} = 0,3 \Rightarrow S = 2$ км
Ответ: 2 км.
- Сколько изначально было работ?
Решение:
Пусть всего $N$ работ. После проверки:
$\frac{4N}{5} \cdot 0,4 = \frac{8N}{25}$ осталось
Уравнение:
$\frac{8N}{25} - 23 - 17 = 0 \Rightarrow \frac{8N}{25} = 40 \Rightarrow N = 125$
Ответ: 125 работ.
- -
- -
Материалы школы Юайти