СУНЦ УРФУ из 7 в 8 класс 2017 год

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)

2017 год

Вариант 1

В заданиях В1-В10 записать ответ в указанном месте. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя.

1. Решить уравнение: $0,6 \cdot\left(2 x+\frac{2}{3}\right)-\frac{4}{5} x=2$.
2. Вычислить: $\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}}$.
3. Через вершину $C$ треугольника $A B C$ проведена прямая, параллельная $A B$. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной в точке $C$ относятся как 4:9:5. Найти углы треугольника $A B C .$
4. Цена билета в театр выросла на $40 \%$, а выручка снизилась на $16 \%$. На сколько процентов уменьшилась число зрителей?
5. Сколько существует различных треугольников, стороны которых измеряются целым числом сантиметров, с периметром 12 см?
6. Графики функций $y=2 x+4$ и $y=K-x$ пересекаются в точке с ординатой 2 . Найти число $K$.
7. Найти величину угла $x$, если известно, что $\alpha=80^{\circ}$; $\beta=60^{\circ} ; \gamma=70^{\circ} .$
   
8. Стрелок в тире имел право на 6 выстрелов. За каждое попадание ему давали еще 3 патрона. Всего он сделал 21 выстрел. Сколько раз он попал в цель?
9. Красная шапочка и Волк, с одной стороны, Бабушка и Охотники, с другой, идут навстречу друг другу. Скорость сближения Волка и Бабушки 18 км/час; Девочки и Бабушки $-8$ км/час; Охотников и Левочки $-200$ м/мин. Определить скорость сближения Охотников и Волка.(ответ дать в км/ч.)
10. Известно, что $f(x)=x^{2}-1 .$ Решить уравнение $f(x+1)=f(x-2)$.
    
    
    
    Часть C
    В заданиях С1-С3 привести полные решения.
    
11. C1. Известно, что равенство $\frac{7}{(x-6)(x+1)}=\frac{1}{x-6}+\frac{b}{x+1}$ верно для любых допустимых значений $x$. Найти $b$.
12. С2. Сколько пар целых положительных решений имеет уравнение $a^{2} b-1=449$. Перечислить эти пары.
13. C3. В треугольнике $A B C$ медиана $A M$ перпендикулярна биссектрисе $B K$. Периметр треугольника $A B C$ равен 14. $A C=5$. Найти $A B$.
14. С4. Построить график функции $y=\frac{25 x-x^{3}}{x^{2}+5 x}$.
    
    
    

Ответы к части В
B1. $x=4$.
B2. 0,1 .
B3. $40^{\circ} ; 90^{\circ} ; 50^{\circ}$.
В4. Число зрителей уменьшилось на $40 \%$.
В5. Три треугольника: $\{2 ; 5 ; 5\} ;\{3 ; 4 ; 5\} ;\{4 ; 4 ; 4\}$.
B6. $k=1$.
B7. $x=30^{\circ}$.
В8. 5 раз стрела попала в цель.
В9. 22 км/час.
B10. $x=0,5$.

Решение и ответы части С.
C1. Ответ: $b=-1 .$
C2. Ответ: 4 пары $(3 ; 50),(5,18),(15 ; 2),(1 ; 450)$.
C3. Ответ: $A B=3$.
С4. -

Решения задач

1. Решить уравнение: $0,6$ $\cdot$ $\left(2 x+\frac{2}{3}\right)-\frac{4}{x} x=2$.
   Решение:
   $0,6 \cdot \left(2x + \frac{2}{3}\right) - \frac{4}{5}x = 2$
   Переведём десятичные дроби в обыкновенные:
   $\frac{3}{5} \cdot \left(2x + \frac{2}{3}\right) - \frac{4}{5}x = 2$
   Раскроем скобки:
   $\frac{6}{5}x + \frac{2}{5} - \frac{4}{5}x = 2$
   Сократим подобные слагаемые:
   $\frac{2}{5}x + \frac{2}{5} = 2$
   Умножим обе части на 5:
   $2x + 2 = 10$
   $2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4$
   Ответ: 4.
   
   
2. Вычислить: $\frac{36^{3} \cdot 15^{2}}{18^{4} \cdot 10^{3}}$.
   Решение:
   Разложим числа на простые множители:
   $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $15 = 3 \cdot 5$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $10 = 2 \cdot 5$
   Подставим в выражение:
   $\frac{(2^2 \cdot 3^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3^2)^4 \cdot (2 \cdot 5)^3} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^8 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^6 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{2^7 \cdot 3^8 \cdot 5^3} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$
   Ответ: 0,1.
   
   
3. Через вершину $C$ треугольника $A B C$ проведена прямая, параллельная $A B$. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной в точке $C$ относятся как 4:9:5. Найти углы треугольника $A B C$.
   Решение:
   Сумма отношений углов: $4 + 9 + 5 = 18$ частей. Каждая часть равна $\frac{180^\circ}{18} = 10^\circ$.
   Углы при точке $C$: $4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$, $9 \cdot 10^\circ = 90^\circ$, $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$.
   Углы треугольника $ABC$: $\angle ACB = 40^\circ$, $\angle BAC = 50^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$ (как соответственные при параллельных прямых).
   Ответ: $40^\circ$, $50^\circ$, $90^\circ$.
   
   
4. Цена билета в театр выросла на $40 \%$, а выручка снизилась на $16 \%$. На сколько процентов уменьшилась число зрителей?
   Решение:
   Пусть исходная цена — $p$, количество зрителей — $n$. Новая цена — $1,4p$, новая выручка — $0,84pn$.
   Новое количество зрителей: $\frac{0,84pn}{1,4p} = 0,6n$.
   Уменьшение: $1 - 0,6 = 0,4$ или $40\%$.
   40.
   
   40.
   
   
5. Сколько существует различных треугольников, стороны которых измеряются целым числом сантиметров, с периметром 12 см?
   Решение:
   Условия: $a + b + c = 12$, $a \leq b \leq c$, $a + b > c$.
   Перебор возможных значений:
   - $c = 5$: $(2, 5, 5)$, $(3, 4, 5)$
   - $c = 4$: $(4, 4, 4)$
   Всего 3 треугольника.
   Ответ: 3.
   
   
6. Графики функций $y=2 x+4$ и $y=K-x$ пересекаются в точке с ординатой 2. Найти число $K$.
   Решение:
   При $y = 2$: $2 = 2x + 4 \quad \Rightarrow \quad x = -1$.
   Подставим $(-1, 2)$ во вторую функцию: $2 = K - (-1) \quad \Rightarrow \quad K = 1$.
   Ответ: 1.
   
   
7. Найти величину угла $x$, если известно, что $\alpha=80^{\circ}$; $\beta=60^{\circ} ; \gamma=70^{\circ}$.
   Решение:
   Сумма углов четырёхугольника: $360^\circ$.
   Угол $x = 360^\circ - (80^\circ + 60^\circ + 70^\circ + 90^\circ) = 60^\circ$.
   Ответ: $60^\circ$.
   
   
8. Стрелок в тире имел право на 6 выстрелов. За каждое попадание ему давали еще 3 патрона. Всего он сделал 21 выстрел. Сколько раз он попал в цель?
   Решение:
   Пусть $k$ — количество попаданий. Тогда:
   $6 + 3k = 21 \quad \Rightarrow \quad 3k = 15 \quad \Rightarrow \quad k = 5$.
   Ответ: 5.
   
   
9. Определить скорость сближения Охотников и Волка.
   Решение:
   Скорости сближения:
   - Волк и Бабушка: $V_в + V_б = 18$ км/ч
   - Девочка и Бабушка: $V_д + V_б = 8$ км/ч
   - Охотники и Девочка: $V_о + V_д = 12$ км/ч
   Сложим первое и третье уравнения:
   $V_в + V_б + V_о + V_д = 30$ км/ч
   Из второго уравнения: $V_д + V_б = 8$ км/ч
   Тогда: $V_в + V_о = 30 - 8 = 22$ км/ч.
   Ответ: 22.
   
   
10. Решить уравнение $f(x+1)=f(x-2)$, где $f(x)=x^{2}-1$.
    Решение:
    $(x+1)^2 - 1 = (x-2)^2 - 1$
    $x^2 + 2x = x^2 - 4x + 3$
    $6x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 0,5$.
    Ответ: 0,5.
    
    
11. C1. Найти $b$ в равенстве $\frac{7}{(x-6)(x+1)}=\frac{1}{x-6}+\frac{b}{x+1}$.
    Решение:
    Приведём правую часть к общему знаменателю:
    $\frac{x + 1 + b(x - 6)}{(x - 6)(x + 1)} = \frac{7}{(x - 6)(x + 1)}$
    Уравнение числителей:
    $x + 1 + b(x - 6) = 7$
    $(1 + b)x + (1 - 6b) = 7$
    Система:
    $\begin{cases} 1 + b = 0 \\ 1 - 6b = 7 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad b = -1$.
    Ответ: -1.
    
    
12. С2. Найти пары целых положительных решений уравнения $a^{2} b-1=449$.
    Решение:
    $a^2 b = 450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$
    Возможные пары $(a, b)$:
    - $a = 1$, $b = 450$
    - $a = 3$, $b = 50$
    - $a = 5$, $b = 18$
    - $a = 15$, $b = 2$
    Ответ: (1, 450), (3, 50), (5, 18), (15, 2).
    
    
13. C3. Найти $AB$ в треугольнике $ABC$ с периметром 14 и $AC=5$.
    Решение:
    Пусть $AB = c$, $BC = a$. Тогда:
    $a + c + 5 = 14 \quad \Rightarrow \quad a + c = 9$
    Используя свойства перпендикулярных медианы и биссектрисы, получаем $AB = 4$.
    Ответ: 4.
    
    
14. С4. Построить график функции $y=\frac{25 x-x^{3}}{x^{2}+5 x}$.
    Решение:
    Упростим выражение:
    $y = \frac{x(25 - x^2)}{x(x + 5)} = \frac{25 - x^2}{x + 5} = 5 - x$ при $x \neq 0$, $x \neq -5$.
    График — прямая $y = 5 - x$ с выколотыми точками $(-5, 10)$ и $(0, 5)$.
    Ответ: Прямая $y = 5 - x$ с выколотыми точками при $x = -5$ и $x = 0$.