СУНЦ УРФУ из 7 в 8 2016 год
СкачатьПечать
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2016 год
Вариант 2
В заданиях В1-В8 записать ответ в указанном месте. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все.
- В1. Оля пришла из школы и съела $1 / 6$ часть конфет, лежащих в вазе. Затем пришла Женя и съела $1 / 5$ часть оставшихся конфет. Последним пришел Сергей и съел половину того, что еще оставалось. Какая часть конфет (от исходного количества) уцелела?
- В2. В числе 65432789 вычеркните наименьшее количество цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 12. В ответ запишите оставшееся число.
- В3. Вычислить: $\frac{\left(42 \cdot 27^{6}-27^{7}\right) \cdot 625}{405^{5}} .
- В4. Лист разбит на равносторонние треугольники. Площадь одного треугольника равна 1 см $^{2}$. Найти площадь заштрихованной части (см. рис.).
- В5. Тело медведя Чарли на $65 \%$ состоит из воды. Во время купания шерсть намокает, после чего вода составляет $72 \%$ веса Чарли, а сам Чарли весит 700 кг. Какой вес был у Чарли до купания?
- В6. В остроугольном треугольнике $A B C$ проведена высота $B H .$ Известно, что $C H=3, B C=6$ и $A H=B H .$ Найти угол $A B C .$
- В7. Решить систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}6 x-4 y=5 \\ 3 x+12 y=-1 .\end{array}\right.$
- B8. На рисунке представлен график линейной функции $y=m x-d .$ Определите, если возможно, какому из промежутков принадлежит коэффициент $m$, если масштаб неизвестен: $m1$.
Часть C
В заданиях С1-С4 привести полные решения. - С1. Упростить: $\frac{4+x^{2}-4 x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}-4(x-2)^{2}}$.
- С2. Алиса и Белый Кролик встретились в 12 часов и пошли на прием к Герцогине. Пройдя треть пути, Белый Кролик вспомнил, что при встрече с Алисой выронил веер, и пошел за ним, поэтому опоздал к началу приема на 25 минут. Алиса же пришла за 5 минут до начала приема. На какое время был назначен прием, если Алиса и Белый Кролик все время шли с одинаковыми равными скоростями?
- С3. Дан треугольник $P Q R, O$ - точка пересечения его биссектрис. Известно, что $\angle Q O R=140^{\circ} .$ Найти угол $Q P R$.
- С4. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 15, а сумма этих чисел равна $90 .$ Найти эти числа. Конечно, как и во всех задачах, нужно указать все возможные варианты и доказать, что других нет.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)
2016 год
Вариант 2
В заданиях В1-В8 записать ответ в указанном месте. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все.
- В1. Ответ: $1 / 3$
- В2. Ответ: $\underline{65328}$
- В3. Ответ: $\underline{1 / 3}$
- В4. Ответ: $\underline{30}$
- В5. Ответ: 560
- В6. Oтвет: $75^{\circ}$
- В7. Ответ: $x=2 / 3, y=-1 / 4$
- B8. Ответ: $m<-1$
Часть C
В заданиях С1-С4 привести полные решения. - С1. Ответ: $\frac{1}{x^{2}+4 x} .$
- С2. Ответ: $12.50 .$
- С3. Ответ: $100^{\circ} .$
- С4. Ответ: 15 и $75 .$
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- B1. Оля съела $\frac{1}{6}$ конфет, осталось $\frac{5}{6}$. Женя съела $\frac{1}{5}$ от оставшегося: $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$. Осталось $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$. Сергей съел половину: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Уцелело $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.
- B2. Число должно делиться на 12 (делится на 3 и 4). Сумма цифр исходного числа 65432789: $6+5+4+3+2+7+8+9 = 44$. Вычеркиваем 5 и 9: сумма $44 -5 -9 = 30$ (делится на 3). Оставшиеся цифры: 6,4,3,2,7,8. Последние две цифры 78 → 78 не делится на 4. Вычеркиваем 8 и 9: сумма $44 -8 -9 = 27$ (делится на 3). Оставшиеся цифры: 6,5,4,3,2,7. Последние две 72 → 72 делится на 4. Число 654372.
Ответ: 654372.
- B3. Упрощаем:
\[
\frac{(42 \cdot 27^6 - 27^7) \cdot 625}{405^5} = \frac{27^6 \cdot 15 \cdot 625}{(5 \cdot 81)^5} = \frac{15 \cdot 27^6 \cdot 5^4}{5^5 \cdot 3^{20}} = \frac{3^{19} \cdot 5^5}{5^5 \cdot 3^{20}} = \frac{1}{3}.
\]
Ответ: $\frac{1}{3}$.
- B4. Заштрихованная фигура состоит из 6 равносторонних треугольников площадью 1 см² каждый.
Ответ: 6 см².
- B5. Пусть вес до купания $x$ кг. Сухое вещество: $0,35x$. После купания: вода $0,72 \cdot 700 = 504$ кг, сухое вещество $700 -504 =196$ кг. Уравнение: $0,35x =196 \Rightarrow x=560$.
Ответ: 560 кг.
- B6. Из $\triangle BHC$: $BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = 3\sqrt{3}$. Так как $AH = BH =3\sqrt{3}$, то $AC = AH + HC =3\sqrt{3} +3$. По теореме косинусов в $\triangle ABC$:
\[
\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{(3\sqrt{6})^2 +6^2 - (3\sqrt{3} +3)^2}{2 \cdot 3\sqrt{6} \cdot 6} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
\]
Угол $\angle ABC = 15^\circ$.
Ответ: $15^\circ$.
- B7. Решаем систему:
\[
\begin{cases}
6x -4y =5 \\
3x +12y =-1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
6x -4y =5 \\
6x +24y =-2
\end{cases}
\Rightarrow -28y=7 \Rightarrow y=-\frac{1}{4}.
\]
Подставляем $y$: $6x -4(-\frac{1}{4})=5 \Rightarrow x=\frac{2}{3}$.
Ответ: $\left(\frac{2}{3}; -\frac{1}{4}\right)$.
- B8. График убывает ($m<0$), угол наклона меньше 45° ($|m|<1$).
Ответ: $-1 < m <0$.
- C1. Упрощаем:
\[
\frac{(x-2)^2}{(x^2-4)^2 -4(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2 -4(x-2)^2} = \frac{1}{x(x+4)}.
\]
Ответ: $\frac{1}{x(x+4)}$.
- C2. Пусть расстояние $S$, скорость $v$, время до приема $T$. Для Алисы: $\frac{S}{v} = T -5$. Для Кролика: $\frac{5S}{3v} = T +25$. Решаем систему:
\[
\frac{5}{3}(T -5) = T +25 \Rightarrow T=50 \text{ минут}.
\]
Ответ: Прием в 12:50.
- C3. В треугольнике $QOR$: $\angle QOR =140^\circ$, $\angle OQR + \angle ORQ =40^\circ$. Так как $O$ — инцентр, $\angle Q + \angle R =80^\circ$. Тогда $\angle QPR =180^\circ -80^\circ =100^\circ$.
Ответ: $100^\circ$.
- C4. Числа $15a$ и $15b$, где $a+b=6$ и НОД$(a,b)=1$. Пары: $(1,5)$ и $(5,1)$. Числа: $15$ и $75$.
Ответ: 15 и 75.
Материалы школы Юайти