8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ из 7 в 8 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



В заданиях В1-В8 записать ответ в указанном месте. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все.

  1. В1. Ужасный вирус уничтожает память компьютера. За первую секунду он управляется с половиной памяти, за вторую - с $1 / 3$ оставшейся части, за третью секунду - с четвертью того, что еще осталось. И тут его настиг могучий антивирус. Какая часть памяти (от исходного количества) уцелела?
  2. В2. В числе 19876543 вычеркните наименьшее количество цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 36. В ответ запишите оставшееся число.
  3. В3. Вычислить: $\frac{\left(17 \cdot 32^{9}+2 \cdot 32^{10}\right) \cdot 243}{48^{11}}$.
  4. В4. Лист разбит на равносторонние треугольники. Площадь одного треугольника равна $1 \mathrm{~cm}^{2} .$ Найти площадь заштрихованной части (см. рис.).
  5. B5. Даже тогда, когда верблюд Гоша хочет пить, $84 \%$ его веса составляет вода. После того, как Гоша напьется воды, его вес станет равным 800 кг, а вода будет составлять $85 \%$ его веса. Сколько весит Гоша, когда испытывает жажду?
  6. В6. В остроугольном треугольнике $P K R$ проведена высота $K H .$ Известно, что $\angle P K R=75^{\circ}, P H=4$ и $K H=H R$. Найти длину стороны PK.
  7. В7. Решить систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}8 x-3 y=6, \\ 2 x+6 y=-3 .\end{array}\right.$
  8. В8. На рисунке представлен график линейной функции $y=h x-f$. Определите, если возможно, какому из промежутков принадлежит коэффициент $h$, если масштаб неизвестен: $h1$.




    Часть С
    В заданиях С1-С4 привести полные решения.
  9. С1. Упростить: $\frac{\left(x^{2}-9\right)^{2}-9(x-3)^{2}}{9+x^{2}-6 x} .$
  10. С2. Пятачок зашел за Винни Пухом, и в 12 часов 15 минут они пошли в гости к Сове. Пройдя четверть пути, Винни Пух вспомнил, что забыл горшочек меда. Медвежонок вернулся домой, поэтому опоздал к Сове на 30 минут. Пятачок же продолжил свой путь к Сове и пришел на 15 минут раньше назначенного срока. В какое время ждала Сова гостей, если гости шли все время с одинаковыми равными скоростями?

  11. С3. Биссектрисы треугольника $A B C$ пересекаются в точке О. Найти угол $A O C$, если угол $A B C$ равен $140^{\circ}$.
  12. С4. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 24 а сумма этих чисел равна $96 .$ Найти эти числа. Конечно, как и во всех задачах, нужно указать все возможные варианты и доказать, что других нет.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



В заданиях В1-В8 записать ответ в указанном месте. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все.

  1. В1. Ответ: $1 / 4$
  2. В2. Ответ: 19764 (Требуется, чтобы оставшееся число делилось на 4 и на 9. Для делимости на 4 надо обязательно зачеркнуть 3 и $5 .)$
  3. В3. Ответ: $\underline{2 / 9}$
  4. В4. Ответ: 24 (переставляя кусочки фигуры можно из кусочков маленьких треугольников собрать целые, как на рисунке)
  5. B5. Ответ: 750
  6. В6. Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
  7. В7. Ответ: $\underline{x=1 / 2, y=-2 / 3}$
  8. В8. Ответ: $-1<h<0$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В1. Ужасный вирус уничтожает память компьютера. За первую секунду он управляется с половиной памяти, за вторую - с $1 / 3$ оставшейся части, за третью секунду - с четвертью того, что еще осталось. И тут его настиг могучий антивирус. Какая часть памяти (от исходного количества) уцелела?
    Решение: После каждой секунды остаток памяти:
    1-я секунда: осталось $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
    2-я секунда: уничтожено $\frac{1}{3}$ от остатка, осталось $\frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
    3-я секунда: уничтожено $\frac{1}{4}$ от остатка, осталось $\frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
    Ответ: $\frac{1}{4}$.

  2. В2. В числе 19876543 вычеркните наименьшее количество цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 36. В ответ запишите оставшееся число.
    Решение: Число делится на 36, если делится на 4 и 9. Сумма цифр исходного числа: $1+9+8+7+6+5+4+3 = 43$. Для делимости на 9 сумма должна быть кратна 9. Удаляем цифры 7, 5, 4 (сумма $7+5+4=16$), новая сумма: $43 - 16 = 27$. Оставшиеся цифры: 1,9,8,6,3. Составляем число 19836, оканчивающееся на 36 (делится на 4).
    Ответ: 19836.

  3. В3. Вычислить: $\frac{\left(17 \cdot 32^{9}+2 \cdot 32^{10}\right) \cdot 243}{48^{11}}$.
    Решение: Упростим выражение:
    Числитель: $32^9(17 + 2 \cdot 32) \cdot 243 = 32^9 \cdot 81 \cdot 243 = 2^{45} \cdot 3^9$.
    Знаменатель: $48^{11} = (2^4 \cdot 3)^{11} = 2^{44} \cdot 3^{11}$.
    Дробь: $\frac{2^{45} \cdot 3^9}{2^{44} \cdot 3^{11}} = \frac{2 \cdot 1}{3^2} = \frac{2}{9}$.
    Ответ: $\frac{2}{9}$.

  4. В4. Лист разбит на равносторонние треугольники. Площадь одного треугольника равна $1 \mathrm{~cm}^{2} .$ Найти площадь заштрихованной части (см. рис.).

  5. B5. Даже тогда, когда верблюд Гоша хочет пить, $84 \%$ его веса составляет вода. После того, как Гоша напьется воды, его вес станет равным 800 кг, а вода будет составлять $85 \%$ его веса. Сколько весит Гоша, когда испытывает жажду?
    Решение: Сухое вещество составляет $16\%$ от исходного веса $x$ и $15\%$ от 800 кг:
    $0,16x = 0,15 \cdot 800 \Rightarrow x = \frac{120}{0,16} = 750$ кг.
    Ответ: 750 кг.

  6. В6. В остроугольном треугольнике $P K R$ проведена высота $K H .$ Известно, что $\angle P K R=75^{\circ}, P H=4$ и $K H=H R$. Найти длину стороны PK.
    Решение: В треугольнике $PKH$: $PH = 4$, $\angle PKH = 30^\circ$ (т.к. $\angle KHR = 45^\circ$). Тогда:
    $PK = \frac{PH}{\cos 30^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.
    Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

  7. В7. Решить систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}8 x-3 y=6, \\ 2 x+6 y=-3 .\end{array}\right.$
    Решение: Умножим второе уравнение на 4:
    $8x + 24y = -12$
    Вычтем первое уравнение: $27y = -18 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}$.
    Подставим $y$ во второе уравнение: $2x + 6 \cdot (-\frac{2}{3}) = -3 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
    Ответ: $\left(\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}\right)$.

  8. В8. На рисунке представлен график линейной функции $y=h x-f .$ Определите, если возможно, какому из промежутков принадлежит коэффициент $h$, если масштаб неизвестен: $h<-1,-1<h<0$, $0<h1 .$
    Решение: График имеет отрицательный наклон (убывающая функция), угол наклона больше $45^\circ$, значит $|h| > 1$. Следовательно, $h < -1$.
    Ответ: $h < -1$.

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2016 год


Вариант 1



Часть С
В заданиях С1-С4 привести полные решения.


  1. С1. Решение: $\frac{\left(x^{2}-9\right)^{2}-9(x-3)^{2}}{9+x^{2}-6 x}=\frac{((x-3)(x+3))^{2}-9(x-3)^{2}}{(x-3)^{2}}=$ $=\frac{(x-3)^{2}\left((x+3)^{2}-9\right)}{(x-3)^{2}}=(x+3)^{2}-9=x^{2}+6 x$
  2. С2. Решение: Пятачок прошел четыре четверти пути и прибыл на место за 15 минут до назначенного срока. Винни Пух же прошел шесть четвертей пути и опоздал на 30 минут. Таким образом на две четверти пути было потрачено 45 минут, то есть на весь путь ушло 1,5 часа. Пятачок потратив 1,5 часа пути пришел к Сове в 13.45, значит встреча была назначена на 14.00.
    Ответ: Сова ждала гостей в 14.00.
  3. С3. Решение: Так как угол $A O C$ равен $140^{\circ}$, то сумма углов $B A C$ и $B C A$ равна $180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$, а сумма их половин $O A C$ и $O C A$ равна $20^{\circ} .$ Получаем, что угол $A O C$ в треугольнике $A O C$ равен $180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$
    Ответ: $160^{\circ} .$
  4. С4. Решение: Поскольку наибольший общий делитель двух натуральный чисел равен 24, то эти числа можно представить в виде $24 k$ и $24 m$, где $k$ и $m$ - различные взаимнопростые натуральные числа. По условию $24 k+24 m=96$, то есть $k+m=4 .$ Есть только две пары натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию: $k=1, m=3$ или $k=m=2 .$ Однако, вторая пара чисел не подходит, так как тогда наибольший общий делитель будет равен 48. Первая пара чисел подходит.
    Ответ: 24 и $72 .$
Материалы школы Юайти