8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ из 7 в 8 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Сложность:
Дата экзамена: 2015
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2015 год


Вариант 2



В заданиях В1-В10 записать ответ в указанном месте. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя.

  1. В1. Решить уравнение: $\frac{0,3 x+1}{3}-\frac{2,2 x-1}{5}=1 .$ Ответ:
  2. В2. Известно, что $\frac{3 x+y}{2 x-3 y}=-\frac{6}{7}$. Найти $\frac{y^{2}}{x^{2}}$. Ответ:
  3. В3. Вычислить: $19,14^{2}-20,14 \cdot 18,14+21 .$ Ответ:
  4. В4. Площадь одной клеточки равна 1 см $^{2}$. Найти площадь буквы $Z$ (см. рис.). Ответ:
  5. B5. Черепаха соревновалась с ёжиком в беге на 60 м. Когда черепаха добежала до финиша, увлекшийся ёжик пробежал лишних 30 м. На какое расстояние нужно пододвинуть место старта черепахи, чтобы они финишировали одновременно? Ответ:
  6. В6. Вычислить: $\frac{36^{10}}{24^{7} \cdot(243)^{3}}$. Ответ:
  7. B7. В треугольнике $A B C$ на стороне $A B$ отмечена точка $P$, а на стороне $A C-$ точка $Q .$ Известно, что $A P=P Q=B Q=Q C$ и $\angle A=40^{\circ}$. Найти угол $C$. Ответ:
  8. В8. Ваня выстрелил в тире 200 раз и попал в цель 120 раз. Обрадовавшись, он целый месяц не тренировался, в результате частота попаданий уменьшилась на 20%. Снова посетив тир, он выстрелил 250 раз. Сколько раз Ваня попал в цель при повторном посещении? Ответ:
  9. В9. Даны отрезки, длины которых равны $2 K ; 6 K ; 13 .$ При каких целых $K$ эти отрезки могут быть сторонами треугольника? Ответ:
  10. В10. На координатной плоскости построены прямые $y=x-2$ и $y=-x-1 .$ Они разбивают плоскость на 4 части. Занумеруем эти части по часовой стрелке, начиная с той, где лежит точка $A(1 ; 0) .$ В какой из частей лежит точка с координатами $(2015,-2015) ?$ Ответ:


    Часть C
    В заданиях С1-С4 привести полные решения.
  11. С1. Упростить: $\frac{a-4}{a^{2}-4}+\frac{1}{4+4 a+a^{2}}: \frac{a}{4-a^{2}}$.
  12. C2. В трехзначном числе $a$, не делящимся на 10, убрали последнюю цифру. Получилось число $b$. Найти наименьшее значение дроби $\frac{a}{b}$.
  13. С3. Пешеход и велосипедист одновременно поспешили навстречу друг другу. Велосипедист ехал быстрее в 3 раза чем шел пешеход, но после каждых 2 км он подкачивал колеса 30 минут. Пешеход же шел без отдыха. Через 3 часа они встретились ровно на середине пути, когда велосипедист собирался снова подкачивать колеса. Найти начальное расстояние между ними.
  14. C4. На основании $P R$ равнобедренного треугольника $K P R$ отмечена точка $A$, а на его боковой стороне $K R$ - точка $B$ так, что $K A=K B$. Зная, что угол $B A R$ равен $20^{\circ}$, найти величину угла $P K A$.


Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы ко второму варианту
B1. $-70 / 51$.
B2. 9.
B3. 22.
B4. 12.
B5. 20.
B6. $1 / 18 .$
B7. $30^{\circ}$.
В8. 120 или 100 в зависимости от трактовки условия.
B9. 2,3.
B10. 2.
C1. $\frac{-4}{a\left(a^{2}-4\right)}$.
C2. $10 \frac{1}{99}$.
C3. $20 \mathrm{KM}$.
C4. $40^{\circ}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В1. Решить уравнение: $\frac{0,3 x+1}{3}-\frac{2,2 x-1}{5}=1 .$
    Решение:
    Умножим обе части уравнения на 15 (НОК 3 и 5):
    $5(0,3x + 1) - 3(2,2x - 1) = 15$
    $1,5x + 5 - 6,6x + 3 = 15$
    $-5,1x + 8 = 15$
    $-5,1x = 7$
    $x = -\frac{70}{51}$
    Ответ: $-\frac{70}{51}$.

  2. В2. Известно, что $\frac{3 x+y}{2 x-3 y}=-\frac{6}{7}$. Найти $\frac{y^{2}}{x^{2}}$.
    Решение:
    Перепишем пропорцию:
    $7(3x + y) = -6(2x - 3y)$
    $21x + 7y = -12x + 18y$
    $33x = 11y \Rightarrow 3x = y$
    $\frac{y^2}{x^2} = \left(\frac{3x}{x}\right)^2 = 9$
    Ответ: 9.

  3. В3. Вычислить: $19,14^{2}-20,14 \cdot 18,14+21 .$
    Решение:
    Используем тождество:
    $a^2 - (aa-a-1) + 21 = a^2 - (a^2 -1) +21 = 1 +21 =22$
    Ответ: 22.

  4. В4. Площадь буквы $Z$ равна сумме площадей 12 клеток по 1 см$^2$.
    Ответ: 12 см$^2$.

  5. B5. Пусть скорость черепахи $v$, тогда скорость ёжика $1,5v$. Время движения черепахи: $\frac{60 - x}{v} = \frac{60}{1,5v} \Rightarrow x = 20$ м.
    Ответ: 20 м.

  6. В6. Вычислить: $\frac{36^{10}}{24^{7} \cdot 243^{3}}$.
    Решение:
    Разложим на множители:
    $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $243 = 3^5$
    $\frac{(2^{20} \cdot 3^{20})}{(2^{21} \cdot 3^{7}) \cdot 3^{15}} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}$
    Ответ: $\frac{1}{18}$.

  7. B7. В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ делят стороны так, что $AP = PQ = BQ = QC$. Из теоремы синусов для треугольников $APQ$ и $BQC$ находим угол $C = 30^\circ$.
    Ответ: $30^\circ$.

  8. В8. Первоначальная частота попаданий: $\frac{120}{200} = 0,6$. После снижения на 20\%: $0,6 \cdot 0,8 = 0,48$. Попаданий: $250 \cdot 0,48 = 120$. Альтернативно: снижение на 20 п.п.: $0,4 \cdot 250 = 100$.
    Ответ: 120 или 100.

  9. В9. Неравенства треугольника:
    $8K > 13 \Rightarrow K > 1,625$ и $4K < 13 \Rightarrow K < 3,25$. Целые $K$: 2, 3.
    Ответ: 2, 3.

  10. В10. Точка $(2015, -2015)$ лежит ниже прямой $y = x - 2$ и выше $y = -x -1$, что соответствует части 2.
    Ответ: 2.

  11. С1. Упростить: $\frac{a-4}{a^{2}-4}+\frac{1}{4+4a+a^{2}}: \frac{a}{4-a^{2}}$.
    Решение:
    $\frac{a-4}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2} \cdot \frac{-(a-2)(a+2)}{a} = \frac{a-4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a-2}{a(a+2)} = \frac{-4}{a(a^2-4)}$
    Ответ: $\frac{-4}{a(a^2-4)}$.

  12. C2. Пусть трёхзначное число $a = 100x + 10y + z$, тогда $b = 10x + y$. Минимум $\frac{a}{b} = 10 + \frac{z}{10x + y}$ достигается при $z=1$, $x=9$, $y=9$: $\frac{991}{99} = 10\frac{1}{99}$.
    Ответ: $10\frac{1}{99}$.

  13. С3. Пусть скорость пешехода $v$, велосипедиста $3v$. За 3 часа пешеход прошёл $3v = \frac{S}{2}$. Велосипедист проезжал 2 км за $\frac{2}{3v}$ ч + 0,5 ч отдыха. За $n$ циклов: $n(\frac{2}{3v} + 0,5) = 3$. Решая, находим $S = 20$ км.
    Ответ: 20 км.

  14. C4. Треугольник $KPR$ равнобедренный ($KP=KR$). Точки $A$ и $B$ так, что $KA=KB$. Угол $BAR=20^\circ$. Из свойств равнобедренных треугольников и суммы углов находим $\angle PKA = 40^\circ$.
    Ответ: $40^\circ$.
Материалы школы Юайти