8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

СУНЦ УРФУ из 7 в 8 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Сложность:
Дата экзамена: 2015
youit.school ©

СУНЦ УРФУ ИМ. ЕЛЬЦИНА №10 (УРАЛ)


2015 год


Вариант 1



Часть В
В заданиях В1-В10 записать ответ в указанном месте. Если получается несколько вариантов, нужно указать их все. Калькулятором, литературой, шпаргалкой и т.п. пользоваться нельзя.

  1. В1. Решить уравнение: $\frac{0,4 x-2}{3}-\frac{2,1 x-1}{2}=1 .$ Ответ:
  2. В2. Известно, что $\frac{2 x-y}{3 x+2 y}=\frac{4}{13}$. Найти $\frac{x^{2}}{y^{2}}$. Ответ:
  3. В3. Вычислить: $202,5^{2}-201,5 \cdot 203,5-201 .$ Ответ:
  4. В4. Площадь одной клеточки равна $1 \mathrm{~cm}^{2}$. Найти площадь буквы $N$ (см. рис.). Oтвет:
  5. В5. Лиса и заяц соревновались в беге на 3 км. Когда лиса добежала до финиша, зайцу оставалось бежать еще 1 км. На какое расстояние нужно отодвинуть место старта лисы, чтобы они прибежали к финишу одновременно? Ответ:
  6. В6. Вычислить: $\frac{75^{10} \cdot 25^{3}}{375^{9} \cdot 5}$. Ответ:
  7. B7. В треугольнике $P K R$ на стороне $K R$ отмечена точка $A$, а на стороне $P R$ - точка $B$. Известно, что $A R=A B=K B=P B$ и $\angle R=30^{\circ}$. Найти угол $P$. Ответ:
  8. В8. Вася выстрелил в тире 60 раз, но попал в цель лишь 12 раз. После долгих тренировок частота попаданий увеличилась на $75 \%$. При повторном посещении тира Вася выстрелил 200 раз. Сколько раз Вася попал в цель при повторном посещении? Ответ:
  9. В9. Имеются отрезки с длинами $5 ; 3 K ; 5 K .$ При каких целых $K$ данные отрезки могугі быть сторонами треугольника? Ответ:
  10. B10. На координатной плоскости построены прямые $y=2+x$ и $y=1-x$. Они разбивают плоскость на 4 части. Занумеруем эти части против часовой стрелке, начиная с той, где лежит точка $A(-1 ; 0) .$ В какой из частей лежит точка с координатами $(-2015 ; 2015) ?$ Ответ:


    Часть C
    В заданиях С1-С4 привести полные решения.
  11. С1. Упростить: $\frac{1}{9-6 x+x^{2}}: \frac{x}{x^{2}-9}+\frac{x+6}{9-x^{2}}$.
  12. C2. В трехзначном числе $a$, не делящемся на 10, убрали последнюю цифру. Получилось число $b$. Найти наибольшее значение дроби $\frac{a}{b}$.
  13. С3. Отец и сын вышли одновременно навстречу друг другу и шли с постоянными скоростями. Сын шел не останавливаясь, но в два раза медленнее отца. Отец же после каждых 1500 м отдыхал 15 минут. Через 2 часа они встретились ровно на середине пути, когда отец собирался в путь после отдыха. Найти начальное расстояние между отцом и сыном.
  14. C4. На основании $B C$ равнобедренного треугольника $A B C$ отмечена точка $D$, а на его боковой стороне $A C$ - точка $E$ так, что $A E=A D$. Зная, что угол $B A D$ равен $30^{\circ}$, найти величину угла $C D E$.


Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы к части В
B1. $x=-14 / 11$.
В2. 9/4. (Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{2 x-y}{3 x+2 y}$ на $y$ и получим уравнение для неизвестного $\left.x / y: \frac{2(x / y)-1}{3(x / y)+2}=4 / 13 .\right)$
B3. $-200 .\left(202,5^{2}-(202,5-1) \cdot(202,5+1)-201=202,5^{2}-\left(202,5^{2}-1\right)-201 .\right)$
В4. 15. (Оставшиеся незакрашенные кусочки составляются в прямоугольник со сторонами 3 и $5 .)$
B5. 1,5 км. (Лиса пробегает 3 км, пока заяц пробегает 2 км. Значит, чтобы заяц пробежал оставшийся 1 км, лисе надо пробежать еще 1,5 км.)
B6. $3 / 25=0,12 .\left(\frac{75^{10} \cdot 25^{3}}{375^{9} \cdot 5}=\frac{75^{10} \cdot 5^{6}}{5^{9} \cdot 75^{9} \cdot 5}=\frac{75}{5^{4}} .\right)$
В7. $45^{\circ}$. (В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.)
В8. 70 или 190 в зависимости от трактовки условия.
В9. 1, 2. (Нужно проверить неравенство треугольника.)
В10. 4. (Точка $(-2015,2015)$ лежит ниже прямой $y=1-x$ и выше прямой $y=2+x$.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. В1. Решить уравнение: $\frac{0,4 x-2}{3}-\frac{2,1 x-1}{2}=1 .$
    Решение:
    Умножим обе части уравнения на 6:
    $2(0,4x - 2) - 3(2,1x - 1) = 6$
    $0,8x - 4 - 6,3x + 3 = 6$
    $-5,5x - 1 = 6$
    $-5,5x = 7$
    $x = \frac{7}{-5,5} = -\frac{14}{11} = -1\frac{3}{11}$
    Ответ: $-1\frac{3}{11}$.

  2. В2. Известно, что $\frac{2 x-y}{3 x+2 y}=\frac{4}{13}$. Найти $\frac{x^{2}}{y^{2}}$.
    Решение:
    Перекрестное умножение:
    $13(2x - y) = 4(3x + 2y)$
    $26x - 13y = 12x + 8y$
    $14x = 21y$
    $\frac{x}{y} = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$
    $\frac{x^2}{y^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$
    Ответ: $\frac{9}{4}$.

  3. В3. Вычислить: $202,5^{2}-201,5 \cdot 203,5-201 .$
    Решение:
    Используем разность квадратов:
    $201,5 \cdot 203,5 = (202,5 - 1)(202,5 + 1) = 202,5^2 - 1$
    Подставляем:
    $202,5^2 - (202,5^2 - 1) - 201 = 202,5^2 - 202,5^2 + 1 - 201 = -200$
    Ответ: $-200$.

  4. В4. Площадь буквы $N$ (см. рис.).
    Решение:
    Буква $N$ состоит из трёх вертикальных столбцов по 5 клеток и двух диагональных линий, добавляющих по 3 клетки каждая. Общая площадь:
    $3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 = 15 + 6 = 21$ см².
    Ответ: 21 см².

  5. В5. Отодвинуть старт лисы на:
    Решение:
    Скорость лисы $v_л = \frac{3}{t}$, зайца $v_з = \frac{2}{t}$. Чтобы время равно:
    $\frac{3 + x}{v_л} = \frac{3}{v_з} \Rightarrow \frac{3 + x}{\frac{3}{t}} = \frac{3}{t}{t}} \Rightarrow 3 + x = 4,5 \Rightarrow x = 1,5$ км.
    Ответ: 1,5 км.

  6. В6. Вычислить: $\frac{75^{10} \cdot 25^{3}}{375^{9} \cdot 5}$.
    Решение:
    Представим степени:
    $\frac{(3 \cdot 5^2)^{10} \cdot (5^2)^3}{(3 \cdot 5^3)^9 \cdot 5} = \frac{3^{10} \cdot 5^{26}}{3^9 \cdot 5^{28}} = \frac{3}{5^2} = \frac{3}{25}$
    Ответ: $\frac{3}{25}$.

  7. B7. Найти угол $P$.
    Решение:
    Из равенств $AR = AB = KB = PB$ следует, что треугольники $KBR$ и $PBR$ равнобедренные. Угол $R = 30^\circ$, тогда угол $P = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
    Ответ: $120^\circ$.

  8. В8. Количество попаданий:
    Решение:
    Начальная частота: $\frac{12}{60} = 0,2$. Новая частота: $0,2 \cdot 1,75 = 0,35$. Попаданий: $200 \cdot 0,35 = 70$.
    Ответ: 70.

  9. В9. Целые $K$:
    Решение:
    Условия треугольника:
    $5 + 3K > 5K \Rightarrow K < 2,5$
    $5K + 3K > 5 \Rightarrow K > 0,625$
    Целые $K$: 1, 2.
    Ответ: 1, 2.

  10. B10. Часть плоскости:
    Решение:
    Точка $(-2015; 2015)$:
    $y > 2 + x \Rightarrow 2015 > -2013$ (верно)
    $y < 1 - x \Rightarrow 2015 < 2016$ (верно)
    Принадлежит части 2.
    Ответ: 2.
Решения и ответы к части С


С1. Вспомним формулы сокращенного умножения: $9-6 x+x^{2}=(3-x)^{2}, x^{2}-9=(x-3)(x+3)$. И применим к задаче: $ \frac{1}{(x-3)^{2}} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x}-\frac{x+6}{x^{2}-9}=\frac{(x+3)}{x(x-3)}-\frac{x+6}{(x-3)(x+3)} $ Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)(x-3)=x\left(x^{2}-9\right)$ : $ \frac{(x+3)^{2}}{x(x-3)(x+3)}-\frac{(x+6) x}{x(x-3)(x+3)}=\frac{\left(x^{2}+6 x+9\right)-\left(x^{2}+6 x\right)}{x\left(x^{2}-9\right)}=\frac{9}{x\left(x^{2}-9\right)} $ Ответ. $\frac{9}{x\left(x^{2}-9\right)}$.


С2. По условию известно, что $a=10 b+x$, где $x$ - это последняя цифра числа $a$, причем $x \neq 0$, а $b$ - двузначное число.
Тогда $\frac{a}{b}=10+\frac{x}{b}$. Наибольшее значение дроби $\frac{x}{b}$ будет тогда, когда числитель - наибольший, а знаменатель - наименьший. Значит, $x=9, b=10$. Ответ. $10 \frac{9}{10}$.


С3. Так как отец шел в два раза быстрее, а прошел столько, сколько и сын, то потратил он на этот путь в два раза меньше времени. Следовательно, из двух часов, потраченных на дорогу, отец отдыхал 1 час, то есть сделал 4 привала. Таким образом, отец прошел четыре промежутка по 1500 м, а перед пятым встретил сына. Половина пути равняется 6 км, значит весь путь - 12 км.
Ответ. Начальное расстояние между отцом и сыном равно 12 км.
C4.

Пусть $\angle D A E=2 \alpha$, тогда $\angle A E D=\angle A D E=90^{\circ}-\alpha$ и $\angle A B C=\angle A C B=$ $75^{\circ}-\alpha .$ Для треугольника $C D E$ угол $A E D$ является внешним, поэтому равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: $90^{\circ}-\alpha=\angle C D E+75^{\circ}-\alpha .$ Из полученного равенства выражаем требуемый угол: $\angle C D E=15^{\circ} .$
Ответ. $\angle C D E=15^{\circ} .$
Материалы школы Юайти