8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1317 из 8 в 9 класс 2017 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Сложность:
Дата экзамена: 2017
youit.school ©

ГБОУ ШКОЛА №1317


2017 год


Демонстрационный вариант



Время на выполнение: 60 минут

Задания модуля «Алгебра» (максимум 2 балла за каждый верный ответ)

  1. Найдите все точки графика функции $y=\frac{x^{2}+2 x-20}{x-4}$, имеющие делочисленные координаты.
  2. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению $9 x^{2}-4 y^{2}=5$. Ответ:
  3. Расположите в порядке убывания числа $49 \sqrt{3}-7 \sqrt{147}, 5-\sqrt{31}, 3 \sqrt{5}, 2 \sqrt{11}, \sqrt{11}+\sqrt{22} .$
  4. Между какими целыми числами находится каждый корень уравнения $\frac{2}{2 x+5}-\frac{2 x+1}{4 x^{2}-25}+\frac{1}{6}=0 ?$
  5. Решите уравнение $\| 2 x-1|-3|=3-|1-2 x|$.
  6. При каком значении переменной $x$ верно равенство $ \frac{2^{x+2} \cdot 3^{2 x}}{6^{2 x}}=1 ? $
  7. Для того чтобы вспахать поле, первому трактористу требуется на 4 дня меньше, чем второму. Если сначала 7 дней будет работать первый тракторист, а затем к нему присоединится второй, то через 5 дней совместной работы они закончат вспашку поля. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая отдельно?

    II. Задания модуля «Геометрия» (максимум 2 балла за каждый верный ответ)
  8. Внешние углы треугольника $A B C$ с вершинами $A$ и $B$ равны $130^{\circ}$ и $140^{\circ} .$ На сторонах $A C$ и $B C$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $M N \| A B$. Найдите углы треугольника $C M N$.
  9. Из вершины $B$ параллелограмма $A B C D$ с острым углом $A$ проведён перпендикуляр $B H$ к прямой $A D .$ Найдите угол $C$, если $B H=\frac{1}{2} A B$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы:


  1. 0;2;3;5;6;8
  2. -1;1
  3. -
  4. -7;-6;3;4
  5. $[-1;2]$
  6. 2
  7. 16;20
  8. 40;50;90
  9. 30
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите все точки графика функции $y=\frac{x^{2}+2 x-20}{x-4}$, имеющие целочисленные координаты.
    Решение: Преобразуем функцию:
    $y = \frac{x^2 + 2x - 20}{x - 4} = x + 6 + \frac{4}{x - 4}$.
    Для целочисленных координат $\frac{4}{x - 4}$ должно быть целым. Делители 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
    При $x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5, y = 15$; $x - 4 = -1 \Rightarrow x = 3, y = 5$; $x - 4 = 2 \Rightarrow x = 6, y = 14$; $x - 4 = -2 \Rightarrow x = 2, y = 6$; $x - 4 = 4 \Rightarrow x = 8, y = 15$; $x - 4 = -4 \Rightarrow x = 0, y = 5$.
    Ответ: $(5,15)$, $(3,5)$, $(6,14)$, $(2,6)$, $(8,15)$, $(0,5)$.
  2. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению $9 x^{2}-4 y^{2}=5$.
    Решение: Разложим на множители:
    $(3x - 2y)(3x + 2y) = 5$.
    Возможные комбинации делителей 5: $(1,5)$, $(5,1)$, $(-1,-5)$, $(-5,-1)$.
    Решаем системы:
    $\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases} \Rightarrow x = 1, y = 1$;
    $\begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases} \Rightarrow x = 1, y = -1$;
    $\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases} \Rightarrow x = -1, y = -1$;
    $\begin{cases} 3x - 2y = -5 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases} \Rightarrow x = -1, y = 1$.
    Ответ: $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,-1)$, $(-1,1)$.
  3. Расположите в порядке убывания числа $49 \sqrt{3}-7 \sqrt{147}, 5-\sqrt{31}, 3 \sqrt{5}, 2 \sqrt{11}, \sqrt{11}+\sqrt{22}$.
    Решение:
    $49\sqrt{3} -7\sqrt{147} = 0$;
    $5 - \sqrt{31} \approx -0,567$;
    $3\sqrt{5} \approx 6,708$;
    $2\sqrt{11} \approx 6,632$;
    $\sqrt{11} + \sqrt{22} \approx 8,006$.
    Порядок: $\sqrt{11} + \sqrt{22} > 3\sqrt{5} > 2\sqrt{11} > 49\sqrt{3} -7\sqrt{147} >5 - \sqrt{31}$.
    Ответ: $\sqrt{11}+\sqrt{22} > 3\sqrt{5} > 2\sqrt{11} > 49\sqrt{3}-7\sqrt{147} >5-\sqrt{31}$.
  4. Между какими целыми числами находится каждый корень уравнения $\frac{2}{2 x+5}-\frac{2 x+1}{4 x^{2}-25}+\frac{1}{6}=0$?
    Решение: Приведем к общему знаменателю:
    $4x^2 +12x -91 =0$;
    Корни: $x = 3,5$ (между 3 и 4), $x = -6,5$ (между -7 и -6).
    Ответ: $3,5 \in (3;4)$, $-6,5 \in (-7;-6)$.
  5. Решите уравнение $\| 2 x-1|-3|=3-|1-2 x|$.
    Решение: Замена $y = |2x -1|$:
    $|y -3| = 3 - y$ выполняется при $y \leq 3$.
    $|2x -1| \leq 3 \Rightarrow -1 \leq x \leq 2$.
    Ответ: $x \in [-1;2]$.
  6. При каком значении переменной $x$ верно равенство $\frac{2^{x+2} \cdot 3^{2 x}}{6^{2 x}}=1$?
    Решение: Упростим выражение:
    $2^{-x +2} =1 \Rightarrow -x +2 =0 \Rightarrow x=2$.
    Ответ: 2.
  7. Для того чтобы вспахать поле, первому трактористу требуется на 4 дня меньше, чем второму. Если сначала 7 дней будет работать первый тракторист, а затем к нему присоединится второй, то через 5 дней совместной работы они закончат вспашку поля. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая отдельно?
    Решение: Пусть первый тракторист вспашет за $t$ дней, второй за $t+4$ дней:
    $\frac{12}{t} + \frac{5}{t+4} =1$;
    Решая, получаем $t=16$ дней (первый), $t+4=20$ дней (второй).
    Ответ: 16 дней и 20 дней.
  8. Внешние углы треугольника $ABC$ с вершинами $A$ и $B$ равны $130^{\circ}$ и $140^{\circ}$. На сторонах $AC$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $MN \| AB$. Найдите углы треугольника $CMN$.
    Решение: Внутренние углы треугольника $ABC$: $\angle A =50^{\circ}$, $\angle B=40^{\circ}$, $\angle C=90^{\circ}$.
    Треугольник $CMN$ подобен $CAB$: $\angle C=90^{\circ}$, $\angle M=50^{\circ}$, $\angle N=40^{\circ}$.
    Ответ: $90^{\circ}$, $50^{\circ}$, $40^{\circ}$.
  9. Из вершины $B$ параллелограмма $ABCD$ с острым углом $A$ проведён перпендикуляр $BH$ к прямой $AD$. Найдите угол $C$, если $BH=\frac{1}{2} AB$.
    Решение: В прямоугольном треугольнике $ABH$: $BH = \frac{1}{2}AB \Rightarrow \angle A =30^{\circ}$.
    В параллелограмме $\angle C = \angle A =30^{\circ}$.
    Ответ: $30^{\circ}$.
Материалы школы Юайти