Школа № 1566 из 8 в 9 класс 2015 год

ЛИЦЕЙ 1566 ИМ. БЕЛОБОРОДОВА

2015 год

Вариант 1

1. Упростите выражение $\frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-1}-\frac{\sqrt{6}+1}{15+10 \sqrt{2}}$
2. Решите уравнение $\frac{x+3}{4 x^{2}-9}-\frac{3-x}{4 x^{2}+12 x+9}=\frac{2}{2 x-3}$
3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{\sqrt{10 x+1}}{x} ?$
4. Вычислите $\left[\left(3 \frac{2}{3}\right)^{-1}+\left(1 \frac{2}{7}\right)^{-2}\right] \cdot\left((-3,4)^{0}-(-1)^{-2}\right)$.
5. Уравнение $x^{2}-2 m(x-1)-1=0$ имеет два различных корня. При этом сумма корней равна сумме квадратов корней. При каких значениях m это возможно?
6. Диагонали равнобедренной трапеции $\mathrm{ABCD}$ равны 12 см и пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$.
7. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути он был задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время , ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?

Решения задач

1. Упростите выражение $\frac{3-2 \sqrt{2}}{\sqrt{6}-1}-\frac{\sqrt{6}+1}{15+10 \sqrt{2}}$
   Решение:
   Упростим каждую дробь отдельно:
   1) $\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-1} \cdot \frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}+1} = \frac{(3-2\sqrt{2})(\sqrt{6}+1)}{6-1} = \frac{(3\sqrt{6} + 3 - 2\sqrt{12} - 2\sqrt{2})}{5} = \frac{3\sqrt{6} + 3 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{5}$
   2) $\frac{\sqrt{6}+1}{15+10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+1}{5(3 + 2\sqrt{2})} \cdot \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+1)(3 - 2\sqrt{2})}{5(9 - 8)} = \frac{3\sqrt{6} - 2\sqrt{12} + 3 - 2\sqrt{2}}{5} = \frac{3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{2}}{5}$
   Вычитаем вторую дробь из первой:
   $\frac{3\sqrt{6} + 3 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{5} - \frac{3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{2}}{5} = \frac{0}{5} = 0$
   Ответ: 0.
   
   
2. Решите уравнение $\frac{x+3}{4 x^{2}-9}-\frac{3-x}{4 x^{2}+12 x+9}=\frac{2}{2 x-3}$
   Решение:
   Разложим знаменатели на множители:
   $4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$
   $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$
   Общий знаменатель: $(2x - 3)(2x + 3)^2$
   Умножим все члены уравнения на общий знаменатель:
   $(x + 3)(2x + 3) - (3 - x)(2x - 3) = 2(2x + 3)^2$
   Раскроем скобки:
   $(2x^2 + 9x + 9) - (-2x^2 + 9x - 9) = 8x^2 + 24x + 18$
   Упростим левую часть:
   $2x^2 + 9x + 9 + 2x^2 - 9x + 9 = 4x^2 + 18$
   Получаем уравнение:
   $4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18$
   $-4x^2 - 24x = 0$
   $-4x(x + 6) = 0$
   Корни: $x = 0$ или $x = -6$
   Проверка:
   При $x = 0$: знаменатели не обращаются в ноль. Подстановка в исходное уравнение верна.
   При $x = -6$: аналогично проверка верна.
   Ответ: $0; -6$.
   
   
3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{\sqrt{10 x+1}}{x} ?$
   Решение:
   Условия существования:
   1) Подкоренное выражение $\ge 0$: $10x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -0,1$
   2) Знаменатель не равен нулю: $x \ne 0$
   Объединяя условия: $x \in [-0,1; 0) \cup (0; +\infty)$
   Ответ: $x \in [-0,1; 0) \cup (0; +\infty)$.
   
   
4. Вычислите $\left[\left(3 \frac{2}{3}\right)^{-1}+\left(1 \frac{2}{7}\right)^{-2}\right] \cdot\left((-3,4)^{0}-(-1)^{-2}\right)$.
   Решение:
   Вычислим по частям:
   1) $\left(3\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{11}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{11}$
   2) $\left(1\frac{2}{7}\right)^{-2} = \left(\frac{9}{7}\right)^{-2} = \left(\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{49}{81}$
   3) Сумма в квадратных скобках: $\frac{3}{11} + \frac{49}{81} = \frac{243 + 539}{891} = \frac{782}{891}$
   4) Вторая скобка: $(-3,4)^0 - (-1)^{-2} = 1 - 1 = 0$
   Итог: $\frac{782}{891} \cdot 0 = 0$
   Ответ: 0.
   
   
5. Уравнение $x^{2}-2 m(x-1)-1=0$ имеет два различных корня. При этом сумма корней равна сумме квадратов корней. При каких значениях m это возможно?
   Решение:
   Приведем уравнение к стандартному виду:
   $x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0$
   По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = 2m$
   $x_1x_2 = 2m - 1$
   Условие: $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$
   Преобразуем правую часть:
   $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (2m)^2 - 2(2m - 1) = 4m^2 - 4m + 2$
   Уравнение:
   $2m = 4m^2 - 4m + 2$
   $4m^2 - 6m + 2 = 0$
   $D = 36 - 32 = 4$
   $m = \frac{6 \pm 2}{8} = 1$ или $0,5$
   Проверим условие существования двух различных корней ($D > 0$):
   Исходное уравнение: $D = (2m)^2 - 4(2m - 1) = 4m^2 - 8m + 4 = 4(m^2 - 2m + 1) = 4(m - 1)^2$
   $D > 0$ при $m \ne 1$
   Таким образом, подходит только $m = 0,5$
   Ответ: $0,5$.
   
   
6. Диагонали равнобедренной трапеции $\mathrm{ABCD}$ равны 12 см и пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$.
   Решение:
   Площадь трапеции можно найти через диагонали и угол между ними:
   $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin60^{\circ} = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см²
   Ответ: $36\sqrt{3}$ см².
   
   
7. Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути он был задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время , ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?
   Решение:
   Пусть планируемая скорость $v$ км/ч, время $t = \frac{840}{v}$ часов.
   Фактическое время движения:
   $\frac{420}{v} + 0,5 + \frac{420}{v + 2} = t$
   Подставим $t = \frac{840}{v}$:
   $\frac{420}{v} + 0,5 + \frac{420}{v + 2} = \frac{840}{v}$
   Упростим:
   $0,5 + \frac{420}{v + 2} = \frac{420}{v}$
   Умножим на $2v(v + 2)$:
   $v(v + 2) + 840v = 840(v + 2)$
   $v^2 + 2v + 840v = 840v + 1680$
   $v^2 + 2v - 1680 = 0$
   $D = 4 + 6720 = 6724 = 82^2$
   $v = \frac{-2 \pm 82}{2} = 40$ км/ч
   Общее время: $\frac{840}{40} = 21$ час
   Ответ: 21 час.