Школа № 1566 из 7 в 8 класс 2015 год

ЛИЦЕЙ 1566 ИМ. БЕЛОБОРОДОВА

2015 год

Вариант 1

1. Решите уравнение
   1. $(3 x-1)^{2}-8(x+1)^{2}=(x+2) \cdot(x-2)$
   2. $\frac{7 x-1}{5}-\frac{3 x-7}{2}=6-x$
2. Упростите выражение
   1. $(2 a-b) \cdot(a+b-c)-(a+2 b) \cdot(a-b+c)+3 c \cdot(a+b)$;
   2. $\left(-2 a b^{5} c\right)^{3} \cdot\left(-3 a^{5} b c^{3}\right)^{2}$
3. Разложите на множители
   1. $a b+a c-a$
   2. $4 x^{2}-y^{2}+2 x-y$
   3. $a^{2}+b^{2}-2 a b-c^{2}$
4. Не строя графики функций, дайте обоснованный ответ на вопросы. Пересекаются ли графики функций $y=12,5 x+5$ и $y=7 x-0,8 ?$ Если графики пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.
5. Велосипедист ехал 2ч по проселочной дороге и 1 ч по шоссе. Всего он проехал 28 км. С какой скоростью велосипедист ехал по проселочной дороге и с какой по шоссе, если известно, что его скорость по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость по проселочной дороге.
6. Укажите номера верных утверждений
   1. Если отрезки не пересекаются, то они параллельны.
   2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны, то прямые параллельны.
   3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
   4. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны по $60^{\circ}$, то прямые параллельны.
7. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании образуют при пересечении угол, равный $164^{\circ} .$ Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. -3/22;3
2. $[a+b]^2;-72a13b17c9$
3. -
4. -58/55;-31/4
5. 8;12
6. 3;4
7. 148

Решения задач

1. 1. Решите уравнение: $(3x-1)^2 -8(x+1)^2 = (x+2)(x-2)$
      Решение:
      Раскроем квадраты:
      $(9x^2 -6x +1) -8(x^2 +2x +1) = x^2 -4$
      $9x^2 -6x +1 -8x^2 -16x -8 = x^2 -4$
      Упростим левую часть:
      $(9x^2 -8x^2) + (-6x -16x) + (1 -8) = x^2 -22x -7$
      Получаем уравнение:
      $x^2 -22x -7 = x^2 -4$
      $-22x -7 = -4$
      $-22x = 3$
      $x = -\frac{3}{22}$
      Ответ: $-\frac{3}{22}$.
      
      
   2. Решите уравнение: $\frac{7x-1}{5} - \frac{3x-7}{2} = 6 -x$
      Решение:
      Умножим обе части на 10:
      $2(7x-1) -5(3x-7) = 10(6 -x)$
      Раскроем скобки:
      $14x -2 -15x +35 = 60 -10x$
      Упростим левую часть:
      $-x +33 = 60 -10x$
      $-x +10x = 60 -33$
      $9x = 27$
      $x = 3$
      Ответ: 3.
   
   
   
2. 1. Упростите выражение: $(2a -b)(a +b -c) - (a +2b)(a -b +c) +3c(a +b)$
      Решение:
      Раскроем произведения:
      $(2a^2 +2ab -2ac -ab -b^2 +bc) - (a^2 -ab +ac +2ab -2b^2 +2bc) +3ac +3bc$
      Упростим:
      $2a^2 +ab -2ac -b^2 +bc -a^2 -ab -ac +2b^2 -2bc +3ac +3bc$
      Сгруппируем подобные:
      $(2a^2 -a^2) + (ab -ab) + (-2ac -ac +3ac) + (-b^2 +2b^2) + (bc -2bc +3bc)$
      Итог: $a^2 +b^2 +2bc$
      Ответ: $a^2 +b^2 +2bc$.
      
      
   2. Упростите выражение: $\left(-2ab^5c\right)^3 \cdot \left(-3a^5bc^3\right)^2$
      Решение:
      Возведем в степени:
      $(-8a^3b^{15}c^3) \cdot (9a^{10}b^2c^6)$
      Перемножим коэффициенты и сложим степени:
      $-72a^{13}b^{17}c^9$
      Ответ: $-72a^{13}b^{17}c^9$.
   
   
   
3. 1. Разложите на множители: $ab +ac -a$
      Решение:
      Вынесем общий множитель $a$:
      $a(b +c -1)$
      Ответ: $a(b +c -1)$.
      
      
   2. Разложите на множители: $4x^2 -y^2 +2x -y$
      Решение:
      Группировка:
      $(4x^2 -y^2) + (2x -y) = (2x -y)(2x +y) + (2x -y)$
      Вынесем общий множитель:
      $(2x -y)(2x +y +1)$
      Ответ: $(2x -y)(2x +y +1)$.
      
      
   3. Разложите на множители: $a^2 +b^2 -2ab -c^2$
      Решение:
      Представим как разность квадратов:
      $(a -b)^2 -c^2 = (a -b -c)(a -b +c)$
      Ответ: $(a -b -c)(a -b +c)$.
   
   
   
4. Пересекаются ли графики функций $y=12,5x +5$ и $y=7x -0,8$?
   Решение:
   Приравняем функции:
   $12,5x +5 = 7x -0,8$
   $5,5x = -5,8$
   $x = -\frac{58}{55} = -\frac{29}{25} = -1,16$
   Подставим $x$ в одну из функций:
   $y = 7 \cdot (-\frac{58}{55}) -0,8 = -\frac{406}{55} - \frac{44}{55} = -\frac{450}{55} = -\frac{90}{11} \approx -8,18$
   Ответ: Графики пересекаются в точке $\left(-\frac{58}{55}; -\frac{90}{11}\right)$.
   
   
5. Велосипедист ехал 2 ч по проселочной дороге и 1 ч по шоссе. Всего он проехал 28 км. С какой скоростью велосипедист ехал по проселочной дороге и по шоссе?
   Решение:
   Пусть скорость по проселку $x$ км/ч, тогда по шоссе $(x +4)$ км/ч.
   Уравнение:
   $2x + (x +4) = 28$
   $3x +4 = 28$
   $3x = 24$
   $x = 8$ км/ч (по проселку)
   $x +4 = 12$ км/ч (по шоссе)
   Ответ: 8 км/ч и 12 км/ч.
   
   
6. Укажите номера верных утверждений:
   Решение:
   1. Неверно (отрезки могут не лежать в одной плоскости).
   2. Верно (признак параллельности).
   3. Верно (в планиметрии).
   4. Верно (соответственные углы равны $\Rightarrow$ параллельны).
   Ответ: б, в, г.
   
   
7. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании образуют угол $164^\circ$. Найдите угол при вершине.
   Решение:
   Пусть угол при основании $\alpha$, тогда угол при вершине $180^\circ -2\alpha$.
   Биссектрисы делят углы $\alpha$ пополам. Угол между биссектрисами:
   $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha = 164^\circ$
   Отсюда $\alpha = 16^\circ$.
   Угол при вершине:
   $180^\circ -2 \cdot16^\circ = 148^\circ$
   Ответ: $148^\circ$.