Школа №67 из 7 в 8 класс 2019 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2019 год

1. Вычислите $\left(7^{3}-3^{5}\right)^{\left(2^{7}-5^{3}\right)}$.
2. Решите уравнение: $((0,001 x+2): 0,3) \cdot 0,01)-11,2=22,2$.
3. Разложите на множители $4 a^{2}+27 b c-18 a b-9 c^{2} .$
4. В треугольнике $\boldsymbol{A B C}$ на стороне $\boldsymbol{A B}$ взята точка $\boldsymbol{D}$, а на стороне $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ взята точка $\boldsymbol{E}$. При этом $\boldsymbol{D} \boldsymbol{E} \| \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ и $\boldsymbol{D} \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E} \boldsymbol{C} .$ Найдите $\angle \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$, если $\angle B A C=55^{\circ}$ и $\angle B C D=25^{\circ}$.
5. Пешеход, идущий из дома к железнодорожной станции, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает к поезду на полчаса. Поэтому остальной путь он прошёл со скоростью 5 км/ч и пришёл за $\mathbf{3 0}$ минут до отхода поезда. Каково расстояние от дома до станции?
6. От прямоугольника одним прямолинейным разрезом отрезали квадрат. От этого его периметр уменьшился на $20 \%$. А на сколько процентов уменьшилась его площадь?
7. Десять друзей послали друг другу СМС: каждый послал по одному СМС ровно пяти друзьям. Можно ли утверждать наверняка, что какие-то двое послали СМС друг другу?
8. Какие двузначные числа увеличатся в 8,5 раз, если между их цифрами вписать $\mathbf{0}$?

Решения задач

1. Вычислите $\left(7^{3}-3^{5}\right)^{\left(2^{7}-5^{3}\right)}$.
   Решение:
   Вычислим основание степени: $7^3 = 343$, $3^5 = 243$, тогда $343 - 243 = 100$.
   Вычислим показатель степени: $2^7 = 128$, $5^3 = 125$, тогда $128 - 125 = 3$.
   Итоговое значение: $100^3 = 1\,000\,000$.
   Ответ: $1\,000\,000$.
2. Решите уравнение: $((0,001 x+2): 0,3) \cdot 0,01)-11,2=22,2$.
   Решение:
   $((0,001x + 2) : 0,3) \cdot 0,01 - 11,2 = 22,2$
   $((0,001x + 2) : 0,3) \cdot 0,01 = 33,4$
   $(0,001x + 2) : 0,3 = 3340$
   $0,001x + 2 = 3340 \cdot 0,3 = 1002$
   $0,001x = 1000$
   $x = 1\,000\,000$.
   Ответ: $1\,000\,000$.
3. Разложите на множители $4 a^{2}+27 b c-18 a b-9 c^{2}$.
   Решение:
   Перегруппируем слагаемые:
   $4a^2 - 18ab + 27bc - 9c^2 = (4a^2 - 18ab) + (27bc - 9c^2)$
   Вынесем общие множители:
   $2a(2a - 9b) + 9c(3b - c)$
   Заметим, что выражение можно представить как:
   $(2a - 9b + 3c)(2a - 3c)$.
   Проверка раскрытием скобок подтверждает правильность.
   Ответ: $(2a - 9b + 3c)(2a - 3c)$.
4. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ взята точка $D$, а на стороне $AC$ взята точка $E$. При этом $DE \| BC$ и $DE = EC$. Найдите $\angle ABC$, если $\angle BAC = 55^{\circ}$ и $\angle BCD = 25^{\circ}$.
   Решение:
   Из подобия треугольников $ADE$ и $ABC$ следует, что $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$. Так как $DE = EC$, треугольник $DEC$ равнобедренный, $\angle DCE$ = $\angle CDE$. Учитывая $\angle BCD = 25^{\circ}$ и $\angle BAC$ = $55^{\circ}$, через свойства параллельных линий и сумму углов треугольника получаем:
   $\angle ABC = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 45^{\circ} = 80^{\circ}$.
   Ответ: $80^{\circ}$.
5. Пешеход, идущий из дома к железнодорожной станции, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает к поезду на полчаса. Поэтому остальной путь он прошёл со скоростью 5 км/ч и пришёл за 30 минут до отхода поезда. Каково расстояние от дома до станции?
   Решение:
   Пусть расстояние $S$ км, время до отправления поезда $T$ часов.
   Уравнения:
   $\frac{S}{3} = T + 0,5$ (при скорости 3 км/ч)
   $1 + \frac{S - 3}{5} = T - 0,5$ (фактическое время)
   Решая систему, получаем $S = 10,5$ км.
   Ответ: 10,5 км.
6. От прямоугольника одним разрезом от разрезом от разрезом отрезали квадрат. От этого его периметр уменьшился на 20\%. А на сколько процентов уменьшилась его площадь?
   Решение:
   Пусть стороны прямоугольника $a$ и $4a$ (из условия $b = 4a$). После отрезания квадрата площадь уменьшается с $4a^2$ до $3a^2$.
   Уменьшение площади: $\frac{4a^2 - 3a^2}{4a^2} = 25\%$.
   Ответ: 25%.
7. Десять друзей послали друг другу СМС: каждый послал по одному СМС ровно пяти друзьям. Можно ли утверждать наверняка, что какие-то двое послали СМС друг другу?
   Решение:
   Всего рёбер в графе: $10 \cdot 5 = 50$. Максимальное количество односторонних рёбер без взаимных: $C(10,2) = 45$. Так как $50 > 45$, по принципу Дирихле обязательно есть минимум одна взаимная пара.
   Ответ: Да.
8. Какие двузначные числа увеличатся в 8,5 раз, если между их цифрами вписать 0?
   Решение:
   Пусть число $10x + y$. После вставки 0: $100x + y$. Уравнение:
   $100x + y = 8,5(10x + y)$
   Решение: $y = 2x$. Возможные числа: 12, 24, 36, 48.
   Ответ: 12, 24, 36, 48.