Школа №67 из 7 в 8 класс 2019 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2019 год

1. Вычислите: $0,008: 0,05-3,75: 4 \frac{2}{3}$.
2. Упростите выражение $\left(a^{2}-2\right)(a-4)-(a-2)\left(a^{2}-2 a-4\right) .$
3. Решите уравнение $1-\frac{2 x+5}{3}=\frac{4 x+5}{9}$.
4. Длина первой стороны треугольника составляет $60 \%$ от длины второй стороны, а третья сторона на 3 см длиннее первой. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 11 см.
5. Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 ч. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 минут быстрее. Каково расстояние от города до озера?
6. Составьте уравнение прямой, параллельной прямой $\boldsymbol{y}=\mathbf{3} \boldsymbol{x}-\mathbf{1}$ и проходящей через точку $(2 ;-3)$. Сделайте чертеж.
7. Медиана $\boldsymbol{A} \boldsymbol{M}$ треугольника $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{C}$ перпендикулярна его биссектрисе $\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}$. Найдите $\boldsymbol{A B}$, если $\boldsymbol{B C}=12$.
8. В треугольнике $\boldsymbol{A B C}$ провели биссектрису $\boldsymbol{C D}$. В треугольнике $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C D}$ провели биссектрису $\boldsymbol{D L}$. Оказалось, что прямые $\boldsymbol{D L}$ и $\boldsymbol{B C}$ параллельны. Найдите $\angle B A C$, если $\angle A B C=40^{\circ} .$

1. -901/1400
2. -2a
3. -11/10
4. 40/11;24/11;57/11
5. 60
6. y=3x-9
7. 6
8. 60

Решения задач

1. Вычислите: $0,008: 0,05-3,75: 4 \frac{2}{3}$.
   Решение: \[ 0,008 : 0,05 = \frac{8}{1000} : \frac{5}{100} = \frac{8}{50} = \frac{4}{25} \] \[ 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 3,75 : \frac{14}{3} = \frac{15}{4} \cdot \frac{3}{14} = \frac{45}{56} \] \[ \frac{4}{25} - \frac{45}{56} = \frac{224}{1400} - \frac{1125}{1400} = -\frac{901}{1400} \] Ответ: $-\frac{901}{1400}$.
2. Упростите выражение $\left(a^{2}-2\right)(a-4)-(a-2)\left(a^{2}-2 a-4\right)$.
   Решение: \[ (a^2 - 2)(a - 4) = a^3 - 4a^2 - 2a + 8 \] \[ (a - 2)(a^2 - 2a - 4) = a^3 - 4a^2 + 8 \] \[ (a^3 - 4a^2 - 2a + 8) - (a^3 - 4a^2 + 8) = -2a \] Ответ: $-2a$.
3. Решите уравнение $1-\frac{2 x+5}{3}=\frac{4 x+5}{9}$.
   Решение: \[ 9\left(1 - \frac{2x + 5}{3}\right) = 4x + 5 \] \[ 9 - 3(2x + 5) = 4x + 5 \] \[ 9 - 6x - 15 = 4x + 5 \quad \Rightarrow \quad -6x - 6 = 4x + 5 \] \[ -10x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{11}{10} \] Ответ: $-\frac{11}{10}$.
4. Длина первой стороны треугольника составляет $60 \%$ от длины второй стороны, а третья сторона на 3 см длиннее первой. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 11 см.
   Решение: Пусть вторая сторона $x$ см. Тогда: \[ 0,6x + x + (0,6x + 3) = 11 \quad \Rightarrow \quad 2,2x + 3 = 11 \] \[ 2,2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{40}{11} \] Первая сторона: $0,6 \cdot \frac{40}{11} = \frac{24}{11}$ см. Третья сторона: $\frac{24}{11} + 3 = \frac{57}{11}$ см.
   Ответ: $\frac{24}{11}$ см, $\frac{40}{11}$ см, $\frac{57}{11}$ см.
5. Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 ч. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 минут быстрее. Каково расстояние от города до озера?
   Решение: Пусть скорость автобуса $v$ км/ч. Тогда: \[ 3v = 2,5(v + 12) \quad \Rightarrow \quad 3v = 2,5v + 30 \] \[ 0,5v = 30 \quad \Rightarrow \quad v = 60 \quad \Rightarrow \quad S = 3 \cdot 60 = 180 \text{ км} \] Ответ: 180 км.
6. Составьте уравнение прямой, параллельной прямой $y=3x-1$ и проходящей через точку $(2;-3)$.
   Решение: Угловой коэффициент $k=3$. Подставляем точку: \[ -3 = 3 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = -9 \] Ответ: $y=3x-9$.
7. -
8. -