8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1514 из 7 в 8 класс 2009 год

Сложность:
Дата экзамена: 2009
Сложность:
Дата экзамена: 2009
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2008-2009 год


Вариант 2 - 180 минут



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{1-4 x}{5}-2\left(1-3 x-\frac{4-2 x}{3}\right)=2 x+3 \frac{4}{5}$
    2. $27 x^{3}-(7-2 x)(2 x+7)+(1-4 x)(x+3)=(3 x-1)\left(9 x^{2}+1+3 x\right)$
  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $2 y^{4}-36 y^{2}+162$
    2. $16 x^{2}-9-25 y^{2}+30 y$
    3. $y^{2}+8 y-x^{2}-10 x-9$
    1. Даны точки $\mathrm{A}(2 ; 3)$ и $\mathrm{B}(4 ;-1)$. Напишите уравнение прямой $\mathrm{AB}$.
    2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной у $-3 \mathrm{x}=8$ и пересекаюшей ось Оу в точке с ординатой у $=2 .$
    3. Найдите координаты точки пересечения прямьт $l$ и $\mathrm{AB}$. При каком а прямая $4 y+a x-9=0$ проходит через эту точку?
  4. Решите задачу: Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в. одном и том же направленни. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1,5 км до финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал финит 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго.
  5. Вычислите наиболее удобным способом
    1. $8 y x^{3}-12 x^{2} y+6 x y-y$ при $x=0,75 ; y=-0,32$.
    2. $\frac{567^{3}-215^{3}}{782^{2}-567 \cdot 215}$
  6. Докажите, что
    1. Значение выражения $(3 a+b)(3 a+b-6)+9$ неотрицательно при любых значениях а и b.
    2. $\left(73^{3}+3^{9}\right)$ делится на $25 .$
  7. Постройте график функци $$ |y| \cdot(x-1)=y(y+1) $$


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{1-4 x}{5}-2\left(1-3 x-\frac{4-2 x}{3}\right)=2 x+3 \frac{4}{5}$
      Решение: \[ \frac{1-4x}{5} - 2\left(\frac{3(1-3x)-(4-2x)}{3}\right) = 2x + \frac{19}{5} \] \[ \frac{1-4x}{5} - 2\left(\frac{3-9x-4+2x}{3}\right) = 2x + \frac{19}{5} \] \[ \frac{1-4x}{5} - \frac{2(-7x-1)}{3} = 2x + \frac{19}{5} \] Умножим обе части на 15: \[ 3(1-4x) - 10(-7x-1) = 30x + 57 \] \[ 3 - 12x + 70x + 10 = 30x + 57 \] \[ 58x + 13 = 30x + 57 \Rightarrow 28x = 44 \Rightarrow x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \] Ответ: $1\frac{4}{7}$.

    2. $27 x^{3}-(7-2 x)(2 x+7)+(1-4 x)(x+3)=(3 x-1)\left(9 x^{2}+1+3 x\right)$
      Решение: Упростим левую часть: \[ 27x^3 - (49 - 4x^2) + (x + 3 - 4x^2 - 12x) = 27x^3 + 4x^2 - 49 - 4x^2 - 11x + 3 \] \[ 27x^3 - 11x - 46 \] Правая часть: \[ (3x-1)(9x^2 + 3x + 1) = 27x^3 - 1 \] Уравнение принимает вид: \[ 27x^3 - 11x - 46 = 27x^3 - 1 \Rightarrow -11x = 45 \Rightarrow x = -\frac{45}{11} = -4\frac{1}{11} \] Ответ: $-4\frac{1}{11}$.


  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $2 y^{4}-36 y^{2}+162$
      Решение: \[ 2(y^4 - 18y^2 + 81) = 2(y^2 - 9)^2 = 2(y - 3)^2(y + 3)^2 \] Ответ: $2(y-3)^2(y+3)^2$.

    2. $16 x^{2}-9-25 y^{2}+30 y$
      Решение: \[ 16x^2 - (25y^2 - 30y + 9) = 16x^2 - (5y - 3)^2 = (4x - 5y + 3)(4x + 5y - 3) \] Ответ: $(4x-5y+3)(4x+5y-3)$.

    3. $y^{2}+8 y-x^{2}-10 x-9$
      Решение: \[ (y^2 + 8y + 16) - (x^2 + 10x + 25) = (y + 4)^2 - (x + 5)^2 = (y + 4 - x - 5)(y + 4 + x + 5) \] \[ (y - x - 1)(y + x + 9) \] Ответ: $(y-x-1)(y+x+9)$.


    1. Уравнение прямой AB через точки A(2;3) и B(4;-1):
      Решение: Угловой коэффициент: \[ k = \frac{-1-3}{4-2} = -2 \] Уравнение: \[ y - 3 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 7 \] Ответ: $y = -2x + 7$.

    2. Уравнение прямой l, параллельной $-3x + y = 8$:
      Решение: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = 3$. При пересечении оси Oy в точке (0;2): \[ y = 3x + 2 \] Ответ: $y = 3x + 2$.

    3. Точка пересечения прямых:
      Решение: \[ \begin{cases} y = -2x + 7 \\ y = 3x + 2 \end{cases} \Rightarrow 3x + 2 = -2x + 7 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1, y = 5 \] Подставим (1;5) в $4y + ax - 9 = 0$: \[ 4\cdot5 + a\cdot1 - 9 = 0 \Rightarrow 20 + a - 9 = 0 \Rightarrow a = -11 \] Ответ: Точка (1;5), $a = -11$.


  4. Решение задачи о бегунах:
    Пусть скорость первого бегуна $v$ км/ч, тогда скорость второго $(v+3)$ км/ч. За 55 минут ($\frac{11}{12}$ часа) второй пробежал: \[ S = (v+3)\cdot\frac{11}{12} \] Первый бежал 1 час и осталось 1.5 км: \[ v\cdot1 + 1.5 = S \Rightarrow v + 1.5 = (v+3)\cdot\frac{11}{12} \] Умножим на 12: \[ 12v + 18 = 11v + 33 \Rightarrow v = 15 \quad (v+3 = 18) \] Ответ: 15 км/ч и 18 км/ч.

  5. Вычислите
    1. $8 y x^{3}-12 x^{2} y+6 x y-y$ при $x=0,75; y=-0,32$:
      Решение: \[ y(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) = y(2x - 1)^3 \] Подставим значения: \[ -0.32(1.5 - 1)^3 = -0.32\cdot0.125 = -0.04 \] Ответ: $-0,04$.

    2. $\frac{567^{3}-215^{3}}{782^{2}-567 \cdot 215}$:
      Решение: Используем формулы: \[ \frac{a^3 - b^3}{(a + b)^2 - ab} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + 2ab + b^2 - ab} = a - b = 567 - 215 = 352 \] Ответ: 352.


  6. Докажите
    1. $(3a + b)(3a + b - 6) + 9$:
      Решение: \[ (3a + b)^2 - 6(3a + b) + 9 = (3a + b - 3)^2 \geq 0 \] Ответ: Доказано.

    2. $73^3 + 3^9$ делится на 25:
      Решение: \[ 73 \equiv -2 \mod 25 \Rightarrow 73^3 \equiv (-2)^3 = -8 \mod 25 \] \[ 3^4 = 81 \equiv 6 \mod 25 \Rightarrow 3^8 \equiv 6^2 = 36 \equiv 11 \mod 25 \Rightarrow 3^9 \equiv 33 \mod 25 \equiv 8 \mod 25 \] Сумма: \[ -8 + 8 = 0 \mod 25 \] Ответ: Доказано.


  7. График функции $|y| \cdot (x-1) = y(y+1)$:
    Решение: Рассмотрим два случая:
    • $y \geq 0$: $y(x-1) = y^2 + y \Rightarrow y(x - 1 - y - 1) = 0 \Rightarrow y = 0$ или $x = y + 2$
    • $y < 0$: $-y(x-1) = y^2 + y \Rightarrow -y(x-1) = y(y+1) \Rightarrow x = -y$
    График состоит из:
    • Ось OX ($y = 0$)
    • Прямая $x = y + 2$ в верхней полуплоскости
    • Прямая $x = -y$ в нижней полуплоскости
    Ответ: График объединяет указанные линии.
Материалы школы Юайти