8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1514 из 7 в 8 класс 2009 год

Сложность:
Дата экзамена: 2009
Сложность:
Дата экзамена: 2009
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2008-2009 год


Вариант 1 - 180 минут



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{x-1}{3}-3\left(2 x-\frac{7-2 x}{4}\right)=2 \frac{1}{4}-5 x$
    2. $8 x^{3}-(5-3 x)(3 x+5)+(1-9 x)(x+2)=(1+2 x)\left(4 x^{2}+1-2 x\right)$
  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $3 y^{4}-24 y^{2}+48$
    2. $9 x^{2}-4-25 n^{2}-20 n$
    3. $x^{3}+4 x-y^{2}+6 y-5$
    1. Даны точки $\mathrm{A}(1 ;-4)$ к $\mathrm{B}(3 ; 2)$. Напишите уравнение прямой $\mathrm{AB}$
    2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=11$ и пересекающей ось Оу в точке с ординатой у $=3 .$
    3. Найдите координаты точки пересечения прямых $l$ и $\mathrm{AB}$. При каком а прямая $5 y-a x+11=0$ проходит через эту точку?
  4. Решите задачу: Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном и том же направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1км до финиша, ему сообшили, что второй бегун миновал финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.
  5. Вычислите наиболее удобным способом
    1. $27 x y^{3}-27 y^{2} x-x+9 x y$ при $x=-0,81 ; y=\frac{4}{9}$
    2. $\frac{327^{3}+173^{3}}{327 \cdot 173+154^{2}}$
  6. Докажите, что
    1. значение выражения $(x-2 y)(x-2 y-4)+4$ неотрицательно при любых значения х и у.
    2. $\left(19^{3}+3^{12}\right)$ делится на $25 .$
  7. Постройте график уравнения $|y| \cdot(x+1)=y(y-1)$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{x-1}{3}-3\left(2 x-\frac{7-2 x}{4}\right)=2 \frac{1}{4}-5 x$
      Решение:
      $\frac{x-1}{3} - 3\left(2x - \frac{7-2x}{4}\right) = \frac{9}{4} -5x$
      Умножим обе части на 12 для устранения знаменателей:
      $4(x-1) - 36\left(2x - \frac{7-2x}{4}\right) = 27 -60x$
      Раскроем скобки:
      $4x -4 -36 \cdot 2x + 9(7-2x) = 27 -60x$
      $4x -4 -72x +63 -18x = 27 -60x$
      Соберем подобные:
      $-86x +59 = 27 -60x$
      $-26x = -32 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{32}{26} = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$
      Ответ: $1\frac{3}{13}$.

    2. $8 x^{3}-(5-3 x)(3 x+5)+(1-9 x)(x+2)=(1+2 x)\left(4 x^{2}+1-2 x\right)$
      Решение:
      Раскроем скобки:
      $8x^3 - (25 -9x^2) + (x +2 -9x^2 -18x) = (1+2x)(4x^2 -2x +1)$
      Упростим левую часть:
      $8x^3 -25 +9x^2 -9x^2 -17x +2 = 8x^3 -17x -23$
      Правая часть:
      $4x^2 -2x +1 +8x^3 -4x^2 +2x = 8x^3 +1$
      Получаем уравнение:
      $8x^3 -17x -23 = 8x^3 +1$
      $-17x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{24}{17} = -1\frac{7}{17}$
      Ответ: $-1\frac{7}{17}$.


  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $3 y^{4}-24 y^{2}+48$
      Решение:
      $3(y^4 -8y^2 +16) = 3(y^2 -4)^2 = 3(y-2)^2(y+2)^2$
      Ответ: $3(y-2)^2(y+2)^2$.

    2. $9 x^{2}-4-25 n^{2}-20 n$
      Решение:
      $9x^2 - (25n^2 +20n +4) = 9x^2 - (5n+2)^2 = (3x -5n -2)(3x +5n +2)$
      Ответ: $(3x -5n -2)(3x +5n +2)$.

    3. -


    1. Уравнение прямой AB: $y = 3x -7$
      Решение:
      Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-4)}{3 -1} = 3$
      Подставляем точку A(1;-4): $-4 = 3 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = -7$
      Ответ: $y = 3x -7$.

    2. Уравнение прямой $l$: $y = -2x +3$
      Решение:
      Параллельна $2x + y =11 \quad \Rightarrow \quad k = -2$
      Пересекает Oy в точке (0;3): $b =3$
      Ответ: $y = -2x +3$.

    3. Точка пересечения: (2;-1), $a =3$
      Решение:
      Решаем систему:
      $\begin{cases} y = 3x -7 \\ y = -2x +3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x=2, y=-1$
      Подставляем в $5y -ax +11 =0$:
      $5(-1) -2a +11 =0 \quad \Rightarrow \quad a=3$
      Ответ: (2;-1), $a=3$.


  4. Решите задачу:
    Решение:
    Пусть скорость первого $v$ км/ч, второго $v+2$ км/ч. Дистанция:
    $v \cdot 1 +1 = (v+2) \cdot \frac{11}{12}$
    $12v +12 =11v +22 \quad \Rightarrow \quad v=10$
    Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.

  5. Вычислите наиболее удобным способом
    1. $27 x y^{3}-27 y^{2} x-x+9 x y$ при $x=-0,81 ; y=\frac{4}{9}$
      Решение:
      $x(27y^3 -27y^2 +9y -1) = -0,81 \cdot \left(27 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^3 -27 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2 +9 \cdot \frac{4}{9} -1\right) = -0,81 \cdot 0 =0$
      Ответ: 0.

    2. $\frac{327^{3}+173^{3}}{327 \cdot 173+154^{2}}$
      Решение:
      Используем формулу суммы кубов:
      $\frac{(327+173)(327^2 -327 \cdot 173 +173^2)}{327 \cdot 173 + (327-173)^2} = \frac{500 \cdot (327^2 -327 \cdot 173 +173^2)}{327^2 -327 \cdot 173 +173^2} =500$
      Ответ: 500.


  6. Докажите, что
    1. $(x-2 y)(x-2 y-4)+4 = (x-2y-2)^2 \geq 0$
      Ответ: Доказано.

    2. $19^3 +3^{12} \equiv (-6)^3 +6^3 \equiv -216 +216 \equiv0 \mod25$
      Ответ: Доказано.


  7. Постройте график уравнения $|y| \cdot(x+1)=y(y-1)$
    Решение:
    При $y \geq0$: $y(x+1)=y(y-1) \quad \Rightarrow \quad x=y-2$ (при $y \neq0$)
    При $y=0$: $0=0$ — вся ось Ox
    При $y0$)
    График состоит из:
    - Прямой $x=y-2$ при $y \geq0$
    - Оси Ox
    - Луча $y=-x$ при $x>0$
    Ответ: График построен.
Материалы школы Юайти