8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1514 из 7 в 8 класс 2009 год

Сложность:
Дата экзамена: 2009
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2008-2009 год


Вариант 1 - 120



  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{\frac{(5 x-2)}{6}-\left(\frac{(x-1)}{3}-x\right)}{3}=2 x+1$;
    2. $21-(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)=x(x+4)(4-x)$.
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $9 m^{2}-6 m-10 p-25 p^{2}$;
    2. $k^{3}+20 k-125-4 k^{2}$
    3. $25+16 x^{2}-9 y^{2}-40 x$
    1. Даны точки $A(-1 ; 5)$ и $B(3 ;-7) .$ Haпишите уравнение прямой $A B .$
    2. Напишите уравнение прямой $l$, паралельной прямой $2 x-y=11$ и пересекающей Ох в точке с абсциссой $z=4$,
    3. При каком а прямая, заданная уравнением ax-3y $=6 a_{2}$ проходит через точку пересечения l и $A B$? Постройте эти три прямые
  4. Решите задачу: Велосипедист поехал половину пути со скоростью 12 км/ ч, а затем был задержан на 20 минут
  5. Вычислите наиболее удобным способом:
    1. $$ \frac{\left(4 \cdot 5^{19}+3 \cdot 125^{6}\right) \cdot 46^{2}}{\left(23 \cdot 25^{3}\right)^{3}} $$
    2. $$ \frac{79^{3}+21^{3}}{10^{4}-3 \cdot 79 \cdot 21} $$
  6. Докажите, что при любых $x, y$ значение выражения $x^{2}+4 y^{2}-4 x y-4 x+8 y+4$ неотрицательно.
  7. * Выполните одно из заданий по вашему выбору:
    1. Известно, что $x$ и $y-$ целые числа и х $^{2}+9 x y+y^{2}$ делится на $11 .$ Доказать, что $x^{2}-y^{2}$ делится на $11 .$
    2. Постройте график уравнения: $$ y \cdot|x|-y=1-x^{2} $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Решите уравнение: $\frac{\frac{5x-2}{6}-\left(\frac{x-1}{3}-x\right)}{3}=2x+1$
      Решение:
      Упростим числитель:
      $\frac{5x-2}{6} - \left(\frac{x-1}{3} - x\right) = \frac{5x-2}{6} - \frac{x-1 - 3x}{3} = \frac{5x-2}{6} - \frac{-2x-1}{3} = \frac{5x-2 + 4x + 2}{6} = \frac{9x}{6} = \frac{3x}{2}$
      Подставим в уравнение:
      $\frac{3x}{2} : 3 = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = 2x + 1$
      Умножим обе части на 2:
      $x = 4x + 2 \quad \Rightarrow \quad -3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3}$
      Ответ: $-\frac{2}{3}$.

    2. Решите уравнение: $21 - (x-3)(x^{2}+3x+9) = x(x+4)(4-x)$
      Решение:
      Заметим, что $(x-3)(x^{2}+3x+9) = x^{3} - 27$ (формула разности кубов)
      Правая часть: $x(x+4)(4-x) = -x(x+4)(x-4) = -x(x^{2} - 16)$
      Уравнение принимает вид:
      $21 - (x^{3} - 27) = -x^{3} + 16x$
      $21 - x^{3} + 27 = -x^{3} + 16x \quad \Rightarrow \quad 48 = 16x \quad \Rightarrow \quad x = 3$
      Ответ: 3.


    1. Разложите на множители: $9m^{2} - 6m - 10p - 25p^{2}$
      Решение:
      Группируем слагаемые:
      $(9m^{2} - 6m) - (25p^{2} + 10p) = 3m(3m - 2) - 5p(5p + 2)$
      Дополнительная группировка:
      $(9m^{2} - 25p^{2}) - (6m + 10p) = (3m - 5p)(3m + 5p) - 2(3m + 5p) = (3m + 5p)(3m - 5p - 2)$
      Ответ: $(3m + 5p)(3m - 5p - 2)$.

    2. Разложите на множители: $k^{3} + 20k - 125 - 4k^{2}$
      Решение:
      Перегруппируем:
      $k^{3} - 4k^{2} + 20k - 125 = k^{2}(k - 4) + 5(4k - 25)$
      Метод подбора корней: $k = 5$ — корень:
      $(k - 5)(k^{2} + k + 25)$
      Ответ: $(k - 5)(k^{2} + k + 25)$.

    3. Разложите на множители: $25 + 16x^{2} - 9y^{2} - 40x$
      Решение:
      Выделим квадрат разности:
      $(16x^{2} - 40x + 25) - 9y^{2} = (4x - 5)^{2} - (3y)^{2} = (4x - 5 - 3y)(4x - 5 + 3y)$
      Ответ: $(4x - 5 - 3y)(4x - 5 + 3y)$.


    1. Уравнение прямой AB через точки $A(-1;5)$ и $B(3;-7)$:
      Решение:
      Угловой коэффициент: $k = \frac{-7 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-12}{4} = -3$
      Уравнение: $y - 5 = -3(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 2$
      Ответ: $y = -3x + 2$.

    2. Уравнение прямой $l$, параллельной $2x - y = 11$:
      Решение:
      Угловой коэффициент: $k = 2$
      При $x = 4$: $y = 2 \cdot 4 + b = 8 + b$
      Уравнение: $y = 2x + b$. Подставляем точку (4,0):
      $0 = 8 + b \quad \Rightarrow \quad b = -8$
      Ответ: $y = 2x - 8$.

    3. Найдем точку пересечения $AB$ и $l$:
      Решаем систему:
      $\begin{cases} y = -3x + 2 \\ y = 2x - 8 \end{cases}$
      $-3x + 2 = 2x - 8 \quad \Rightarrow \quad -5x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
      $y = 2 \cdot 2 - 8 = -4$
      Точка пересечения: $(2; -4)$. Подставляем в уравнение $ax - 3y = 6a$:
      $2a - 3(-4) = 6a \quad \Rightarrow \quad 2a + 12 = 6a \quad \Rightarrow \quad 4a = 12 \quad \Rightarrow \quad a = 3$
      Ответ: $a = 3$.


  4. Решите задачу:
    Решение:
    Пусть весь путь равен $2S$ км. Первую половину велосипедист проехал за $\frac{S}{12}$ часов. С учетом задержки 20 минут ($\frac{1}{3}$ часа), общее время: $\frac{S}{12} + \frac{S}{v} + \frac{1}{3}$, где $v$ — скорость на второй половине. Средняя скорость: $\frac{2S}{\frac{S}{12} + \frac{S}{v} + \frac{1}{3}}$. Для решения необходимо дополнительное условие о скорости на второй половине пути.

    1. Вычислите: $ \frac{(4 \cdot 5^{19} + 3 \cdot 125^{6}) \cdot 46^{2}}{(23 \cdot 25^{3})^{3}} $
      Решение:
      Упростим степени:
      $125^{6} = 5^{18}$, $25^{3} = 5^{6}$
      Числитель: $(4 \cdot 5^{19} + 3 \cdot 5^{18}) \cdot 46^{2} = 5^{18}(20 + 3) \cdot 46^{2} = 23 \cdot 5^{18} \cdot 46^{2}$
      Знаменатель: $(23 \cdot 5^{6})^{3} = 23^{3} \cdot 5^{18}$
      Сокращаем: $\frac{23 \cdot 5^{18} \cdot 46^{2}}{23^{3} \cdot 5^{18}} = \frac{46^{2}}{23^{2}} = \left(\frac{46}{23}\right)^{2} = 2^{2} = 4$
      Ответ: 4.

    2. Вычислите: $ \frac{79^{3} + 21^{3}}{10^{4} - 3 \cdot 79 \cdot 21} $
      Решение:
      Используем формулу суммы кубов:
      $79^{3} + 21^{3} = (79 + 21)(79^{2} - 79 \cdot 21 + 21^{2}) = 100(6241 - 1659 + 441) = 100 \cdot 5023 = 502300$
      Знаменатель: $10000 - 3 \cdot 79 \cdot 21 = 10000 - 4977 = 5023$
      Ответ: $\frac{502300}{5023} = 100$.


  6. Докажите неотрицательность выражения: $x^{2} + 4y^{2} - 4xy - 4x + 8y + 4$
    Решение:
    Перегруппируем:
    $(x^{2} - 4xy + 4y^{2}) + 8 + 8y + 4 = (x - 2y)^{2} - 4(x - 2y) + 4 = (x - 2y - 2)^{2} \ge 0$
    Ответ: Выражение всегда неотрицательно.

  7. *
    1. Доказательство делимости:
      Решение:
      Из условия $x^{2} + 9xy + y^{2} \equiv 0 \pmod{11}$. Преобразуем:
      $(x + y)^{2} + 7xy \equiv 0 \pmod{11}$
      Анализ возможных остатков показывает, что $x \equiv y \pmod{11}$ или $x \equiv -y \pmod{11}$, откуда $x^{2} - y^{2} \equiv 0 \pmod{11}$.

    2. Постройте график уравнения: $y \cdot |x| - y = 1 - x^{2}$
      Решение:
      Рассмотрим случаи:
      При $x \ge 0$: $y(x - 1) = 1 - x^{2} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1 - x^{2}}{x - 1} = -(x + 1)$
      При $x < 0$: $y(-x - 1) = 1 - x^{2} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1 - x^{2}}{-x - 1} = x - 1$
      График состоит из двух прямых с изломом при $x = 0$.
Материалы школы Юайти