8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1514 из 7 в 8 класс 2009 год

Сложность:
Дата экзамена: 2009
Сложность:
Дата экзамена: 2009
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2008-2009 год


Вариант 1 - 120 минут



  1. Решите уравнения:
    1. $$ \frac{x+1}{4}-2 x=\frac{5-3 x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) $$
    2. $$ \left(4 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+1)+x(4 x+3)(1-2 x)=11-2 x^{2} $$
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $b^{3}+8 b^{2}-25 b-200$
    2. $16+9 y^{2}-25 x^{2}-24 y$
    3. $125 x y^{3}-8 x+30 y(2 x-5 x y)$
    1. Даны точки $A(4 ; 3)$ и $B(-3 ;-11)$. Напишите уравнение прямой $A B$.
    2. Напишите уравненй прямой $l$, параллельной прямой $-3 x+2 y=7$ и пересекающейся с прямой $A B$ на оси $O y$.
    Постройте полученные прямые
  4. Решите задачу: Двое рабочих должны были сделать по 50 одинаковых деталей. Второй начал работать на 1 час позже первого. Через 2,5 часа после этого оказалосъ, что второй сделал на 4 детали больше, чем первый. А ещё через 1 час 30 минут второму осталось сделать в 2 раза меньше деталей, чем первому. Сколько деталей в час делает каждый рабочий?
  5. Докажите, что:
    1. $\left(8^{5}+16^{3}-5 \cdot 2^{11}\right)$ делится на 26.
    2. Значение выражения $x^{2}+9 y^{2}-2 x y+2-8 y$ неотрицательно при любых значениях $x$ и $y$.
  6. Вычислите наиболее удобным способом: $\frac{\left(97^{2}-53^{2}\right)\left(150^{2}-97.53\right)}{97^{3}-53^{3}} .$
  7. Постройте график уравнения: $$ |x-2| \cdot y=x^{2}-4 $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнения:
    1. $ \frac{x+1}{4}-2 x=\frac{5-3 x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) $ Решение:
      Умножим обе части уравнения на 8 для устранения знаменателей:
      $2(x + 1) - 16x = 4(5 - 3x) - 8x - (x - 3)$
      Раскроем скобки и упростим:
      $2x + 2 - 16x = 20 - 12x - 8x - x + 3$
      $-14x + 2 = 23 - 21x$
      Перенесем переменные влево, константы вправо:
      $7x = 21 \quad \Rightarrow \quad x = 3$
      Ответ: 3.

    2. $ \left(4 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+1)+x(4 x+3)(1-2 x)=11-2 x^{2} $ Решение:
      Раскроем произведения:
      $(4x^2 - 2x + 1)(2x + 1) = 8x^3 + 1$
      $x(4x + 3)(1 - 2x) = -8x^3 - 2x^2 + 3x$
      Суммируем слагаемые:
      $8x^3 + 1 - 8x^3 - 2x^2 + 3x = -2x^2 + 3x + 1$
      Уравнение принимает вид:
      $-2x^2 + 3x + 1 = 11 - 2x^2$
      Упрощаем:
      $3x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{3}$
      Ответ: $\frac{10}{3}$.


  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $b^{3}+8 b^{2}-25 b-200$
      Решение:
      Группируем слагаемые:
      $(b^3 + 8b^2) - (25b + 200) = b^2(b + 8) - 25(b + 8) = (b + 8)(b^2 - 25) = (b + 8)(b - 5)(b + 5)$
      Ответ: $(b + 8)(b - 5)(b + 5)$.

    2. $16+9 y^{2}-25 x^{2}-24 y$
      Решение:
      Выделим полные квадраты:
      $9y^2 - 24y + 16 - 25x^2 = (3y - 4)^2 - (5x)^2 = (3y - 4 - 5x)(3y - 4 + 5x)$
      Ответ: $(3y - 4 - 5x)(3y - 4 + 5x)$.

    3. $125 x y^{3}-8 x+30 y(2 x-5 x y)$
      Решение:
      Вынесем общий множитель $x$:
      $x(125y^3 - 8) + 30y(2x - 5xy) = x(125y^3 - 8 + 60y - 150y^2)$
      Разложим кубический многочлен:
      $125y^3 - 150y^2 + 60y - 8 = (5y - 2)^3$
      Ответ: $x(5y - 2)^3$.


    1. Уравнение прямой $AB$ через точки $A(4; 3)$ и $B(-3; -11)$:
      Решение:
      Угловой коэффициент: $k = \frac{-11 - 3}{-3 - 4} = 2$
      Уравнение: $y = 2x - 5$
      Ответ: $y = 2x - 5$.

    2. Уравнение прямой $l$, параллельной $-3x + 2y = 7$ и пересекающей $AB$ на оси $Oy$:
      Решение:
      Угловой коэффициент: $k = \frac{3}{2}$
      Точка пересечения $AB$ с $Oy$: $(0; -5)$
      Уравнение: $y = \frac{3}{2}x - 5$
      Ответ: $y = \frac{3}{2}x - 5$.


  4. Задача о рабочих:
    Решение:
    Пусть первый делает $x$ деталей/час, второй — $y$ деталей/час.
    Система уравнений:
    $\begin{cases} 2.5y - 3.5x = 4 \\ 5x - 8y = -50 \end{cases}$
    Решение:
    $x = 6$, $y = 10$
    Ответ: 6 и 10 деталей/час.

  5. Доказательства:
    1. Делимость на 26:
      Решение:
      $8^5 + 16^3 - 5 \cdot 2^{11} = 2^{15} + 2^{12} - 5 \cdot 2^{11} = 2^{11}(2^4 + 2 - 5) = 2^{11} \cdot 13$
      Ответ: Делится на 26.

    2. Неотрицательность выражения:
      Решение:
      $x^2 + 9y^2 - 2xy + 2 - 8y = (x - y)^2 + 8(y - 0.5)^2 \geq 0$
      Ответ: Всегда неотрицательно.


  6. Вычисление выражения:
    Решение:
    $\frac{(97^2 - 53^2)(150^2 - 97 \cdot 53)}{97^3 - 53^3} = \frac{(97 - 53)(97 + 53)(150^2 - 97 \cdot 53)}{(97 - 53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)} = 150$
    Ответ: 150.

  7. График уравнения $|x - 2| \cdot y = x^2 - 4$:
    Решение:
    При $x \neq 2$: $y = \frac{x^2 - 4}{|x - 2|} = \begin{cases} x + 2, & x > 2 \\ -x - 2, & x < 2 \end{cases}$
    При $x = 2$: $y$ — любое.
    График состоит из:
    - Прямой $x = 2$ (вертикальная линия)
    - Луча $y = x + 2$ при $x > 2$
    - Луча $y = -x - 2$ при $x < 2$
Материалы школы Юайти