«Лицей» Г. Балашиха из 8 в 9 класс 2019 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2019 год

1. Найдите значение выражения: $$ 4,51 \cdot 3 \frac{1}{2}-7 \frac{2}{3}-\left(-5,49 \cdot 3 \frac{1}{2}+10 \frac{1}{3}\right) $$
2. Упростите выражение: $(2+\sqrt{b})\left(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1}-2 \sqrt{b}+2\right)$.
3. Решите задачу:Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
4. Решите уравнение: $\left(x^{2}-9\right)^{2}-8\left(x^{2}-9\right)+7=0$.
5. Решите задачу:Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен $30^{\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $ 4,51 \cdot 3 \frac{1}{2}-7 \frac{2}{3}-\left(-5,49 \cdot 3 \frac{1}{2}+10 \frac{1}{3}\right) \\ Решение: $ Преобразуем смешанные числа и упростим выражение: $ 4,51 \cdot 3,5 - 7\frac{2}{3} + 5,49 \cdot 3,5 - 10\frac{1}{3} = (4,51 + 5,49) \cdot 3,5 - (7\frac{2}{3} + 10\frac{1}{3}) = 10 \cdot 3,5 - 18 = 35 - 18 = 17 $
   Ответ: 17.
   
   
2. Упростите выражение: $(2+\sqrt{b})\left(\frac{b-\sqrt{b}}{\sqrt{b}-1}-2 \sqrt{b}+2\right)$.
   Решение: Упростим выражение в скобках: $ \frac{b - \sqrt{b}}{\sqrt{b} - 1} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 1)}{\sqrt{b} - 1} = \sqrt{b} $ Теперь подставим обратно: $ (2 + \sqrt{b})(\sqrt{b} - 2\sqrt{b} + 2) = (2 + \sqrt{b})(2 - \sqrt{b}) = 4 - (\sqrt{b})^2 = 4 - b $
   Ответ: $4 - b$.
   
   
3. Решите задачу: Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
   Решение: Пусть $x$ км/ч — скорость туриста в стоячей воде. Составим уравнение времени: $ \frac{24}{x} + \frac{9}{x - 2} = \frac{45}{x + 2} $ Умножим обе части на $x(x - 2)(x + 2)$: $ 24(x^2 - 4) + 9x(x + 2) = 45x(x - 2) $ Раскроем скобки и упростим: $ 24x^2 - 96 + 9x^2 + 18x = 45x^2 - 90x \\ 33x^2 + 18x - 96 = 45x^2 - 90x \\ 12x^2 - 108x + 96 = 0 \quad | : 12 \\ x^2 - 9x + 8 = 0 \\ x_1 = 8, \quad x_2 = 1 \quad (\text{не подходит, так как } x > 2) $
   Ответ: 8 км/ч.
   
   
4. Решите уравнение: $\left(x^{2}-9\right)^{2}-8\left(x^{2}-9\right)+7=0$.
   Решение: Сделаем замену $y = x^2 - 9$: $ y^2 - 8y + 7 = 0 \\ y_1 = 7, \quad y_2 = 1 $
   Возвращаемся к исходной переменной:
   x^2 - 9 = 7 -> x^2 = 16 -> x = 4
   x^2 - 9 = 1 -> x^2 = 10 -> x = $\sqrt{10}$
   Ответ: $4; \sqrt{10}$.
   
   
5. Решите задачу: Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен $30^{\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.
   Решение: Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: $ S = ab \sin\alpha = 12 \cdot 14 \cdot \sin30^{\circ} = 168 \cdot \frac{1}{2} = 84 \text{ см}^2 $
   Ответ: 84 см².