«Лицей» Г. Балашиха из 8 в 9 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2017 год

1. Вычислите: $\frac{\left(13 \frac{1}{4}-2 \frac{5}{27}-10 \frac{5}{6}\right) \cdot 230,04+46,75}{0,1}$
2. Упростите выражение: $\left.\left(\frac{x+5 y}{x^{2}-5 x y}-\frac{x-5 y}{x^{2}+5 x y}\right) \cdot \frac{25 y^{2}-x^{2}}{5 y^{2}}\right)$
3. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{c}x+y=6, \\ 5 x-2 y=9 .\end{array}\right.$
4. Решите задачу: Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани к другой и через 4 часа вернулась назад, затратив на стоянку 24 минуты. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч .
5. Решите задачу: Высота трапеции равна 7 см, а одно из оснований в 5 раз больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна $84 \mathrm{~cm}^{2}$.

1. 1000
2. -4/y
3. 3;3
4. 12
5. 4;20

Решения задач

1. Вычислите: $\frac{\left(13 \frac{1}{4}-2 \frac{5}{27}-10 \frac{5}{6}\right) \cdot 230,04+46,75}{0,1}$
   Решение: Переведём смешанные дроби в неправильные:
   $13\frac{1}{4} = \frac{53}{4}$, $2\frac{5}{27} = \frac{59}{27}$, $10\frac{5}{6} = \frac{65}{6}$
   Найдём разность: $\frac{53}{4} - \frac{59}{27} - \frac{65}{6} = \frac{53 \cdot 27 - 59 \cdot 4 - 65 \cdot 18}{108} = \frac{1431 - 236 - 1170}{108} = \frac{25}{108}$
   Умножим на 230,04 и прибавим 46,75: $\frac{25}{108} \cdot 230,04 + 46,75 = \frac{25 \cdot 2,13}{1} + 46,75 = 53,25 + 46,75 = 100$
   Разделим на 0,1: $\frac{100}{0,1} = 1000$
   Ответ: 1000.
2. Упростите выражение: $\left(\frac{x+5 y}{x^{2}-5 x y}-\frac{x-5 y}{x^{2}+5 x y}\right) \cdot \frac{25 y^{2}-x^{2}}{5 y^{2}}$
   Решение: Разложим знаменатели на множители:
   $x^2 - 5xy = x(x - 5y)$, $x^2 + 5xy = x(x + 5y)$
   Приведём дроби к общему знаменателю $x(x - 5y)(x + 5y)$:
   $\frac{(x+5y)(x+5y) - (x-5y)(x-5y)}{x(x - 5y)(x + 5y)} = \frac{x^2 + 10xy + 25y^2 - (x^2 - 10xy + 25y^2)}{x(x^2 - 25y^2)} = \frac{20xy}{x(x^2 - 25y^2)}$
   Упростим выражение: $\frac{20xy}{x(x^2 - 25y^2)} \cdot \frac{25y^2 - x^2}{5y^2} = \frac{20xy \cdot (-1)(x^2 - 25y^2)}{x(x^2 - 25y^2) \cdot 5y^2} = -\frac{4}{y}$
   Ответ: $-\frac{4}{y}$.
3. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{c}x+y=6, \\ 5 x-2 y=9 .\end{array}\right.$
   Решение: Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 6 - y$
   Подставим во второе уравнение: $5(6 - y) - 2y = 9$
   $30 - 5y - 2y = 9 \Rightarrow -7y = -21 \Rightarrow y = 3$
   Найдём $x$: $x = 6 - 3 = 3$
   Ответ: $(3; 3)$.
4. Решите задачу: Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани к другой и через 4 часа вернулась назад, затратив на стоянку 24 минуты. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
   Решение: Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч. Время движения: $4 - \frac{24}{60} = 3,6$ ч
   Составим уравнение: $\frac{21}{v + 2} + \frac{21}{v - 2} = 3,6$
   Умножим на $(v^2 - 4)$: $21(v - 2) + 21(v + 2) = 3,6(v^2 - 4)$
   $42v = 3,6v^2 - 14,4 \Rightarrow 3,6v^2 - 42v - 14,4 = 0$
   Решим квадратное уравнение: $v = \frac{42 \pm \sqrt{1764 + 207,36}}{7,2} = \frac{42 \pm 44,4}{7,2}$
   Положительный корень: $v = \frac{86,4}{7,2} = 12$ км/ч
   Ответ: 12 км/ч.
5. Решите задачу: Высота трапеции равна 7 см, а одно из оснований в 5 раз больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна $84 \mathrm{~cm}^{2}$.
   Решение: Пусть меньшее основание $x$ см, тогда большее $5x$ см.
   Площадь трапеции: $\frac{x + 5x}{2} \cdot 7 = 84 \Rightarrow 21x = 84 \Rightarrow x = 4$ см
   Большее основание: $5 \cdot 4 = 20$ см
   Ответ: 4 см и 20 см.