«Лицей» Г. Балашиха из 7 в 8 класс 2020 год

ЛИЦЕЙ Г. БАЛАШИХА

2020 год

Вариант 9-18

1. Известно, что $\frac{x}{y}=4$. Найдите $\frac{3 x+4 y}{x}$.
2. Преобразуйте выражение $\frac{2 a^{-5} c^{-3} d^{10}}{5 x y^{-20} z^{4}}$ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
3. Уnростите выражение: $\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{a b}}-\frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right): \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{a b}}$
4. Упростите выражение: $\sqrt{26-6 \sqrt{17}}-\sqrt{66-14 \sqrt{17}}$.
5. Решите уравнение: $x-3 \sqrt{x}+2=0$.
6. На сколько процентов уменьшится вес эвкалипта от высыхания, если при этом содержание воды в не̄м уменьшается с $99 \%$ до $96 \%$ ?
7. Решите уравнение $\| x^{2}-8 x+4|-3|=7$. отличаются не менсе чем на $7 .$
8. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, а любые две соседние отличаются не менее чем на 7.

1. $4$
2. $[2d^10y^20]/[5xz^4a^5c^3]$
3. $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$
4. $2\sqrt{17}-10$
5. $1;4$
6. $75$
7. $4\pm\sqrt{22}$;$4\pm\sqrt{2}$
8. $91807$

Решения задач

1. Известно, что $\frac{x}{y}=4$. Найдите $\frac{3 x+4 y}{x}$.
   Решение:
   $\frac{x}{y} = 4 \Rightarrow x = 4y$
   $\frac{3x + 4y}{x} = \frac{3 \cdot 4y + 4y}{4y} = \frac{16y}{4y} = 4$
   Ответ: 4.
2. Преобразуйте выражение $\frac{2 a^{-5} c^{-3} d^{10}}{5 x y^{-20} z^{4}}$ так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными показателями.
   Решение:
   $\frac{2 a^{-5} c^{-3} d^{10}}{5 x y^{-20} z^{4}} = \frac{2 d^{10} y^{20}}{5 a^{5} c^{3} x z^{4}}$
   Ответ: $\frac{2 d^{10} y^{20}}{5 a^{5} c^{3} x z^{4}}$.
3. Упростите выражение: $\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{a b}}-\frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^{2}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right): \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{a b}}$
   Решение:
   Упростим первую дробь:
   $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
   Вторая часть:
   $\frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(a - 2\sqrt{ab} + b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(a + b - 2\sqrt{ab})}{(a - b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(a - b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$
   Объединяем:
   $\left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} = \left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 1$
   Ответ: 1.
4. Упростите выражение: $\sqrt{26-6 \sqrt{17}}-\sqrt{66-14 \sqrt{17}}$.
   Решение:
   $\sqrt{26 - 6\sqrt{17}} = \sqrt{(3 - \sqrt{17})^2} = |3 - \sqrt{17}| = \sqrt{17} - 3$
   $\sqrt{66 - 14\sqrt{17}} = \sqrt{(7 - \sqrt{17})^2} = |7 - \sqrt{17}| = 7 - \sqrt{17}$
   $\sqrt{17} - 3 - (7 - \sqrt{17}) = 2\sqrt{17} - 10$
   Ответ: $2\sqrt{17} - 10$.
5. Решите уравнение: $x-3 \sqrt{x}+2=0$.
   Решение:
   Замена $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$:
   $t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ или $t = 2$
   Обратная замена:
   $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$; $\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$
   Ответ: 1; 4.
6. На сколько процентов уменьшится вес овоща от высыхания, если при этом содержание воды в нём уменьшается с $99 \%$ до $96 \%$?
   Решение:
   Пусть начальная масса $M$. Сухое вещество: $0,01M$. После сушки сухое вещество составляет $4\%$:
   $0,04M_{\text{нов}} = 0,01M \Rightarrow M_{\text{нов}} = 0,25M$
   Уменьшение массы: $M - 0,25M = 0,75M$
   Процент уменьшения: $\frac{0,75M}{M} \cdot 100% = 75\%$
   Ответ: 75%.
7. Решите уравнение $\| x^{2}-8 x+4|-3|=7$.
   Решение:
   $| |x^2 - 8x + 4| - 3 | = 7 \Rightarrow |x^2 - 8x + 4| - 3 = 7$ (второй случай невозможен)
   $|x^2 - 8x + 4| = 10$
   Решаем два уравнения:
   1) $x^2 - 8x - 6 = 0 \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{22}$
   2) $x^2 - 8x + 14 = 0 \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{2}$
   Ответ: $4 \pm \sqrt{22}$; $4 \pm \sqrt{2}$.
8. Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, а любые две соседние отличаются не менее чем на 7.
   Решение:
   Максимальное число: 91807. Проверка:
   $9-1=8 \geq 7$, $1-8=7 \geq 7$, $8-0=8 \geq 7$, $0-7=7 \geq 7$. Все цифры различны.
   Ответ: 91807.