Интеллектуал КЕМГУ из 8 в 9 класс 2019 год

ИНТЕЛЛЕКТУАЛ КЕМГУ

2019 год

1. Внутри круга радиусом 6 см проведена окружность, делящая его на две части, площади которых соотносятся как 2:3. Определите радиус окружности.
2. В турнире принимали участие спортсмены из двух стран. Каждый с каждым играл ровно 1 раз. В конце турнира оказалось, что число игр, где соперники были из разных стран, равно числу игр, где спортсмены были соотечественниками. Сколько могло быть участников?
3. $\mathrm{ABC}-$ равнобедренный треугольник с вершиной $\mathrm{A} . \angle \mathrm{A}=27^{\circ} .$ Точка $\mathrm{D}$ симметрична точке В относительно А. Чему равен угол $\angle \mathrm{BCD}$ ?
4. В треугольнике $\mathrm{ABC} \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1, \angle \mathrm{ABC}=36^{\circ} .$ Биссектрисы $\mathrm{AK}$ и $\mathrm{CM}$ пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AMO.
5. Сколько отрицательных корней имеет уравнение $x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}-4 x+5=0$
6. Лодка должна пройти 15 км по течению реки и вернуться обратно не позже, чем через 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки?
7. Три бегуна, Андрей, Борис и Саша, соревновались в беге на 100 метров. Когда Андрей добежал до финиша, Борис отставал от него на 10 метров. Когда Борис добежал до финиша, Саша отставал от него на 10 метров. На сколько метров отставал Саша от Андрея в тот момент, когда Андрей финишировал?
8. Найдите максимальное значение выражения $x y$, если $x+y=1 .$
9. Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{4}-y^{4}=15 \\ x^{2}-y^{2}=3 \end{array}\right. $$

1. $\frac{6\sqrt{10}}{5}$
2. 4
3. 13,5
4. 1
5. 0
6. $5+\sqrt{29}$
7. 19
8. 0,5
9. +-2;+-1

Решения задач

1. Внутри круга радиусом 6 см проведена окружность, делящая его на две части, площади которых соотносятся как 2:3. Определите радиус окружности.
   Решение: Площадь исходного круга: $S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$. Пусть площадь внутреннего круга $S_1$, кольца $S_2$. По условию $S_1:S_2 = 2:3$, значит $S_1 = \frac{2}{5} \cdot 36\pi = \frac{72\pi}{5}$. Радиус внутренней окружности:
   $r = \sqrt{\frac{72\pi}{5\pi}} = \sqrt{\frac{72}{5}} = \frac{6\sqrt{10}}{5} \approx 3.79$ см.
   Ответ: $\frac{6\sqrt{10}}{5}$ см.
   
   
2. В турнире принимали участие спортсмены из двух стран. Каждый с каждым играл ровно 1 раз. В конце турнира оказалось, что число игр, где соперники были из разных стран, равно числу игр, где спортсмены были соотечественниками. Сколько могло быть участников?
   Решение: Пусть участников из первой страны $m$, из второй $n$. Условие: $mn = \frac{m(m-1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2}$. Преобразуем:
   $2mn = m^2 - m + n^2 - n \Rightarrow (m - n)^2 = m + n$.
   Обозначим $m + n = k^2$, тогда $m - n = k$. Решая систему, получим $m = \frac{k^2 + k}{2}$, $n = \frac{k^2 - k}{2}$. Количество участников $k^2$ (где $k \in \mathbb{N}$).
   Ответ: Количество участников — квадрат натурального числа (4, 9, 16, ...).
   
   
3. $\mathrm{ABC}$ — равнобедренный треугольник с вершиной $\mathrm{A}$, $\angle \mathrm{A} = 27^{\circ}$. Точка $\mathrm{D}$ симметрична точке В относительно А. Чему равен угол $\angle \mathrm{BCD}$?
   Решение: Так как $D$ симметрична $B$ относительно $A$, то $AD = AB = AC$. Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны. Угол $\angle BCD$ опирается на диаметр окружности с центром в $A$, проходящей через $B$, $C$, $D$. Следовательно, $\angle BCD = 90^{\circ}$.
   Ответ: $90^{\circ}$.
   
   
4. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ $\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = 1$, $\angle \mathrm{ABC} = 36^{\circ}$. Биссектрисы $\mathrm{AK}$ и $\mathrm{CM}$ пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AMO.
   Решение: Используя свойства биссектрис и равнобедренного треугольника, находим координаты точек. После вычислений периметр треугольника $AMO$ равен $1$.
   Ответ: $1$.
   
   
5. Сколько отрицательных корней имеет уравнение $x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 4x + 5 = 0$?
   Решение: Применим правило знаков Декарта. Для $f(-x)$ все коэффициенты положительны — отрицательных корней нет.
   Ответ: $0$.
   
   
6. Лодка должна пройти 15 км по течению реки и вернуться обратно не позже, чем через 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки?
   Решение: Пусть скорость лодки $v$ км/ч. Время пути: $\frac{15}{v+2} + \frac{15}{v-2} \leq 3$. Решая неравенство, получим $v \geq 5 + \sqrt{29}$.
   Ответ: $v \geq 5 + \sqrt{29}$ км/ч.
   
   
7. Три бегуна, Андрей, Борис и Саша, соревновались в беге на 100 метров. Когда Андрей добежал до финиша, Борис отставал от него на 10 метров. Когда Борис добежал до финиша, Саша отставал от него на 10 метров. На сколько метров отставал Саша от Андрея в тот момент, когда Андрей финишировал?
   Решение: Скорости бегунов пропорциональны пройденным расстояниям. Когда Андрей пробежал 100 м, Саша пробежал $100 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 81$ м. Отставание: $100 - 81 = 19$ м.
   Ответ: $19$ метров.
   
   
8. Найдите максимальное значение выражения $xy$, если $x + y = 1$.
   Решение: $xy = x(1 - x) = -x^2 + x$. Максимум достигается при $x = 0.5$, $y = 0.5$. Максимальное значение: $0.25$.
   Ответ: $0.25$.
   
   
9. Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{4} - y^{4} = 15 \\ x^{2} - y^{2} = 3 \end{array}\right. $$ Решение: Разложим первое уравнение: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 15$. Подставим $x^2 - y^2 = 3$: $3(x^2 + y^2) = 15 \Rightarrow x^2 + y^2 = 5$. Решая систему: $\begin{cases} x^2 = 4 \\ y^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow (x, y) = (\pm 2, \pm 1)$. Ответ: $(\pm 2, \pm 1)$.