Интеллектуал КЕМГУ из 7 в 8 класс 2019 год

ИНТЕЛЛЕКТУАЛ КЕМГУ

2019 год

Вариант 1

1. Трехзначное число $\overline{a b c}$ делится на 37. Докажите, что число $\overline{b c a}$ также делится на $37 .$
2. При каких $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с прямые $y=a x+b, y=b x+c, y=c x+a$ проходят через точку A $(1 ; 1)$ ?
3. Каждый из четырёх гномов - Беня, Веня, Женя, Сеня - либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор. Веня - Бене: «Ты врун». Женя Вене: «Сам ты врун». Сеня - Жене: «Да оба они вруны, впрочем, и ты тоже». Кто из них говорит правду?
4. Последовательные нечётные числа сгруппированы следующим образом: (1) (3; 5) (7; $9 ; 11)(13 ; 15 ; 17 ; 19) \ldots$ Найдите сумму чисел в сотой группе.
5. Катер, плывя вверх по реке, потерял под мостом бутылку. Обнаружив потерю через 10 минут, он повернул обратно и нагнал бутылку на расстоянии 1 км от моста. Определите скорость реки.
6. Дан прямоугольник 3x4. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клетки.
7. Одно из слагаемых составило 5/12 другого. Сколько процентов от суммы составляет меньшее слагаемое? (ответ дать с точностью до $0,1 \%)$

1. -
2. 0,5;0,5;0,5
3. Л-СВ;П-ЖБ
4. 1000000
5. 3;км/ч
6. -
7. 29,4;%

Решения задач

1. Трехзначное число $\overline{a b c}$ делится на 37. Докажите, что число $\overline{b c a}$ также делится на $37 .$
   Решение: Представим исходное число как $100a + 10b + c = 37k$. Число $\overline{b c a} = 100b + 10c + a$. Выразим его через исходное:
   $100b + 10c + a = 10(100a + 10b + c) - 999a = 10 \cdot 37k - 27 \cdot 37a = 37(10k - 27a)$.
   Следовательно, $\overline{b c a}$ делится на 37.
   Ответ: доказано.
   
   
2. При каких $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ и с прямые $y=a x+b, y=b x+c, y=c x+a$ проходят через точку A $(1 ; 1)$ ?
   Решение: Подставим координаты точки (1;1) в уравнения:
   $\begin{cases} a \cdot 1 + b = 1 \\ b \cdot 1 + c = 1 \\ c \cdot 1 + a = 1 \end{cases}$
   Решая систему:
   $a + b = 1$
   $b + c = 1$
   $c + a = 1$
   Вычитая первое уравнение из третьего: $c - b = 0 \Rightarrow c = b$. Подставляя во второе уравнение: $2b = 1 \Rightarrow b = 0.5$. Тогда $a = 0.5$, $c = 0.5$.
   Ответ: $a = b = c = 0.5$.
   
   
3. Каждый из четырёх гномов - Беня, Веня, Женя, Сеня - либо всегда говорит правду, либо всегда врет. Мы услышали такой разговор. Веня - Бене: «Ты врун». Женя Вене: «Сам ты врун». Сеня - Жене: «Да оба они вруны, впрочем, и ты тоже». Кто из них говорит правду?
   Решение:
   • Если Веня говорит правду, то Беня — врун. Тогда Женя (говоря "Сам ты врун") лжет, значит Веня правдив — противоречие.
   • Если Веня лжет, то Беня правдив. Женя (говоря "Сам ты врун") говорит правду, значит Веня — врун. Сеня утверждает, что все трое вруны, но Беня и Женя правдивы — значит Сеня лжет.
   Ответ: Беня и Женя говорят правду.
   
   
4. Последовательные нечётные числа сгруппированы следующим образом: (1) (3; 5) (7; $9 ; 11)(13 ; 15 ; 17 ; 19) \ldots$ Найдите сумму чисел в сотой группе.
   Решение:
   • Количество чисел до 100-й группы: $1 + 2 + ... + 99 = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950$
   • Первое число в 100-й группе: $2 \cdot 4950 + 1 = 9901$
   • В группе 100 чисел. Сумма арифметической прогрессии:
     $S = \frac{2 \cdot 9901 + 99 \cdot 2}{2} \cdot 100 = (9901 + 99) \cdot 100 = 10000 \cdot 100 = 1000000$
   Ответ: 1 000 000.
   
   
5. Катер, плывя вверх по реке, потерял под мостом бутылку. Обнаружив потерю через 10 минут, он повернул обратно и нагнал бутылку на расстоянии 1 км от моста. Определите скорость реки.
   Решение:
   • Пусть $u$ — скорость реки. За 10 минут = $\frac{1}{6}$ часа бутылка проплыла $u \cdot \frac{1}{6}$ км.
   • Катер двигался против течения со скоростью $(v - u)$, затем по течению со скоростью $(v + u)$.
   • Время встречи: $\frac{u \cdot \frac{1}{6} + (v - u) \cdot \frac{1}{6}}{(v + u) - u} = \frac{vcdot \cdot \frac{1}{6}}{v} = \frac{1}{6}$ часа.
   • Общее время с момента потери: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ часа.
   • Расстояние: $u \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow u = 3$ км/ч.
   Ответ: 3 км/ч.
   
   
6. Дан прямоугольник 3x4. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клетки.
   Решение:
   1. Вертикальный разрез по середине (2x4 + 1x4)
   2. Горизонтальный разрез по середине (3x2 + 3x2)
   3. Ступенчатый разрез: 2 клетки вверх, 1 вправо (L-образные части)
   4. Диагональный разрез из угла в угол через узлы сетки
   5. Зигзагообразный разрез с периодичностью 2 клетки
   Ответ: пять способов описаны.
   
   
7. Одно из слагаемых составило 5/12 другого. Сколько процентов от суммы составляет меньшее слагаемое? (ответ дать с точностью до $0,1 \%)$
   Решение:
   • Пусть меньшее слагаемое $5x$, большее $12x$
   • Сумма: $5x + 12x = 17x$
   • Процент: $\frac{5x}{17x} \cdot 100 \approx 29.411% \approx 29.4\%$
   Ответ: 29,4%.