Интеллектуал КЕМГУ из 6 в 7 класс 2019 год

ИНТЕЛЛЕКТУАЛ КЕМГУ

2019 год

Задания для вступительного испытания

1. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке возрастания и перемножив, Оля получила в результате $135135 .$ Запишите числа, которые перемножила Оля.
2. Можно ли прямоугольник 34 х 20 покрыть без наложений прямоугольниками 2 х 3 и 3 х 3, не выходя за границы большого прямоугольника?
3. Однажды черт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через мост, твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля». Бездельник согласился и после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?
4. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы (Л) и правдолюбцы (П). Каждый Л, отвечая на вопрос «Сколько...?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный ответ, а каждый П отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого, сколько Л и П проживает на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько Л и П на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?
5. Из двух железнодорожных поездов один затрачивает на прохождение пути между двумя городами 2 ч 48 мин, другой 4 ч 40 мин. Скорость первого поезда больше скорости второго на 26 км/ч. Определить расстояние между двумя городами.
6. У утки есть две лапки. У утки подогнувшей одну лапку, видна только одна лапка. У сидящей утки не видно ни одной лапки. Когда Роман пришѐл на берег озера, там было 33 утки. Он посчитал все лапки, которые были видны. У него получилось 32 лапки. Сколько было уток подогнувших одну лапку, если сидящих уток было вдвое меньше количества одно- и двуногих уток, взятых вместе.
7. Из спичек сложили неверные равенства. Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными. $\mathrm{XII}+\mathrm{IX}=\mathrm{II}$ $\mathrm{IV}-\mathrm{V}=\mathrm{I}$ $\mathrm{X}=\mathrm{VII}-\mathrm{III}$ $\mathrm{X}+\mathrm{X}=\mathrm{I}$ $\mathrm{VI}-\mathrm{VI}=\mathrm{XI}$

1. Номер 7
2. 12-9=3
3. 6-5=1
4. 10-7=3
5. 11-10=1
6. 6+5-11

Решения задач

1. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке возрастания и перемножив, Оля получила в результате $135135$. Запишите числа, которые перемножила Оля.
   Решение: Разложим число 135135 на простые множители:
   $135135 = 5 \cdot 27027 = 5 \cdot 3 \cdot 9009 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3003 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1001 = 5 \cdot 3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.
   Сгруппируем множители в шесть различных чисел: $3, 5, 7, 9 (3 \cdot 3), 11, 13$.
   Проверка: $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 = 135135$.
   Ответ: 3, 5, 7, 9, 11, 13.
2. Можно ли прямоугольник 34 х 20 покрыть без наложений прямоугольниками 2 х 3 и 3 х 3, не выходя за границы большого прямоугольника?
   Решение: Площадь большого прямоугольника: $34 \cdot 20 = 680$. Площадь плиток: $2 \cdot 3 = 6$ и $3 \cdot 3 = 9$. Общая площадь покрытия должна быть равна 680.
   Уравнение: $6a + 9b = 680$. Правая часть не делится на 3 ($6a + 9b = 3(2a + 3b)$), а 680 не кратно 3 ($6+8+0=14$, $14 \mod 3 = 2$).
   Ответ: Нет.
3. Однажды черт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через мост, твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля». Бездельник согласился и после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?
   Решение: Пусть начальная сумма — $x$ рублей. После каждого перехода:
   1 переход: $2x - 24$
   2 переход: $2(2x - 24) - 24 = 4x - 72$
   3 переход: $2(4x - 72) - 24 = 8x - 168$
   После третьего перехода: $8x - 168 = 0 \Rightarrow x = 21$.
   Ответ: 21 рубль.
4. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы (Л) и правдолюбцы (П). Каждый Л, отвечая на вопрос «Сколько...?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный ответ, а каждый П отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого, сколько Л и П проживает на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько Л и П на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?
   Решение: Пусть первый — П. Тогда без него: Л = 1001, П = 1002. Всего жителей: 1001 + 1002 + 1 = 2004. Второй житель утверждает: без него Л = 1000, П = 999. Если он Л, реальные числа: Л = 1000 ± 2, П = 999 ± 2. При этом общее количество должно быть 2004 - 1 = 2003. Проверка: 1000 + 2 + 999 - 2 = 1997 ≠ 2003. Значит, первый — Л. Его ответ: реальные числа Л = 1001 ± 2, П = 1002 ± 2. Общее: (1001 ± 2) + (1002 ± 2) + 1 = 2004. Подходит вариант Л = 1003, П = 1000. Второй житель: его ответ Л = 1000, П = 999. Если он Л, реальные: Л = 1000 ± 2 = 1002, П = 999 ± 2 = 1001. Сумма: 1002 + 1001 = 2003, что соответствует.
   Ответ: 1003 Л, 1000 П; первый — Л, второй — Л.
5. Из двух железнодорожных поездов один затрачивает на прохождение пути между двумя городами 2 ч 48 мин, другой 4 ч 40 мин. Скорость первого поезда больше скорости второго на 26 км/ч. Определить расстояние между двумя городами.
   Решение: Пусть расстояние — $S$ км. Время первого: $2\frac{48}{60} = 2,8$ ч, второго: $4\frac{40}{60} = \frac{14}{3}$ ч.
   Скорости: $\frac{S}{2,8}$ и $\frac{S}{\frac{14}{3}} = \frac{3S}{14}$.
   Разность: $\frac{S}{2,8} - \frac{3S}{14} = 26$.
   Решение: $S = 182$ км.
   Ответ: 182 км.
6. У утки есть две лапки. У утки подогнувшей одну лапку, видна только одна лапка. У сидящей утки не видно ни одной лапки. Когда Роман пришёл на берег озера, там было 33 утки. Он посчитал все лапки, которые были видны. У него получилось 32 лапки. Сколько было уток подогнувших одну лапку, если сидящих уток было вдвое меньше количества одно- и двуногих уток, взятых вместе.
   Решение: Пусть сидящих — $S$, подогнувших одну — $P$, обычных — $D$.
   Уравнения: $S + P + D = 33$, $P + 2D = 32$, $S = \frac{P + D}{2}$.
   Решение: $S = 11$, $P = 12$, $D = 10$.
   Ответ: 12 уток.
7. Из спичек сложили неверные равенства. Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.
   Решение:
   • $\mathrm{XII} + \mathrm{IX} = \mathrm{II}$ → $\mathrm{XIII} - \mathrm{XI} = \mathrm{II}$ (переложить одну спичку из "+" в "-" и из II в XI).
   • $\mathrm{IV} - \mathrm{V} = \mathrm{I}$ → $\mathrm{IV} + \mathrm{V} = \mathrm{IX}$ (переложить спичку из "-" в "+" и из I в X).
   • $\mathrm{X} = \mathrm{VII} - \mathrm{III}$ → $\mathrm{X} - \mathrm{VII} = \mathrm{III}$ (переложить спичку из "=" в "-").
   • $\mathrm{X} + \mathrm{X} = \mathrm{I}$ → $\mathrm{X} - \mathrm{IX} = \mathrm{I}$ (переложить спичку из "+" в "-" и из X в IX).
   • $\mathrm{VI} - \mathrm{VI} = \mathrm{XI}$ → $\mathrm{VI} + \mathrm{VI} = \mathrm{XII}$ (переложить спичку из "-" в "+" и из XI в XII).
   Ответ: $\mathrm{XIII}-\mathrm{XI}=\mathrm{II}$, $\mathrm{IV}+\mathrm{V}=\mathrm{IX}$, $\mathrm{X}-\mathrm{VII}=\mathrm{III}$, $\mathrm{X}-\mathrm{IX}=\mathrm{I}$, $\mathrm{VI}+\mathrm{VI}=\mathrm{XII}$.