8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2020 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2020 год


Вариант 1



В каждой задаче требуется не только указать ответ, но и привести решение. Задания пунктов а) и б) не всегда связаны друг с другом, но если да – можно и нужно пользоваться результатами одного для решения другого. Каждый пункт оценивается из 3х баллов. Помните, что не все предлагаемые задачи необходимо решить. Мы специально включили в работу много задач, чтобы у каждого из вас была возможность выбрать те из них, которые кажутся вам доступными.


    1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$;
    2. найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=5$
    1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{7}) x+\sqrt{14}=0$.
    2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$
    1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(1 ; 3)$ и пересекает ось ОХ в точках с абсциссами 2 и $-1 .$
    2. Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 11)$ на графике одной квадратичной функции?
  4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=2$ и $E C=1$.
  5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C D .$ Известно, что $C D^{2}=A D \cdot D B$.
    1. Докажите, что если точка $D$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный.
    2. Возможно ли такое соотношение в случае, если $D$ не лежит на отрезке $A B ?$ Если да приведите пример, если нет - докажите, почему.
  6. Решите неравенства:
    1. $2|x-1| \geq 2-x$;
    2. $\frac{2|x-1|}{2-x} \geq 1$.
  7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x-1| \geq a-x$ выполнено при всех значениях $x$?
    1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|2 a-b|$, если $-2 \leq a \leq 1 \quad$ и $\quad 1 \leq b \leq 5$.
    2. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $x-y=2$.
    1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+1 ; \quad b=3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6+1 ; \quad c=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10+1 .$
    2. Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)


2020 год


Вариант 1




  1. а) Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$.
    б) Найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=5$

    a) $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=(x+y)^{2}-z^{2}=(x+y+z)(x+y-z)$.
    б) Поскольку z натуральное число, то $x+y+z>x+y-z$ и, следовательно,
    $\left\{\begin{array}{c}x+y+z=5 \\ x+y-z=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}2(x+y)=6 \\ 2 z=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x+y=3 \\ z=2\end{array} .\right.\right.\right.$
    Ответ: $(1 ; 2 ; 2)$ и $(2 ; 1 ; 2) .$

  2. а) Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{7}) x+\sqrt{14}=0$.
    б) Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$

    a) По обратной теореме Виета корнями уравнения $x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{7}) x+\sqrt{14}=0$ являются числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} .$
    б) Заметим, что $\sqrt{2}2$, а значит надо сравнить числа $2-\sqrt{2}$ и $\sqrt{7}-2$. Составим неравенство $2-\sqrt{2}>\sqrt{7}-2$ и преобразуем его. $2-\sqrt{2}>\sqrt{7}-2 \Leftrightarrow \sqrt{7}+\sqrt{2}<4 \Leftrightarrow 9+2 \sqrt{14}<16 \Leftrightarrow 2 \sqrt{14}<7 \Leftrightarrow 2 \sqrt{2}7$. Так как тому же 8 не равно 7 , то и числа наши не равны. Значит $2-\sqrt{2}<\sqrt{7}-2$ и число $\sqrt{2}$ ближе к 2 , чем число $\sqrt{7}$.
    Ответ: $\sqrt{2}$

  3. а) Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку C $(1 ; 3)$ и пересекает ось ОХ в точках с абсциссами 2 и $-1 .$
    б) Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 11)$ на графике одной квадратичной функции?

    а) Поскольку числа -1 и 2 являются корнями функции $f$, то $f(x)=a(x+1)(x-2)$. Значение $a$ узнаем из условия $f(1)=3$: $$ f(1)=3 \Leftrightarrow a \cdot 2 \cdot(-1)=3 \Leftrightarrow a=-\frac{3}{2} \text {. } $$ Ответ: $f(x)=-\frac{3}{2}(x+1)(x-2) .$\\ б) Да, лежат. Если $f(x)=a x^{2}+b x+c$, то $\left\{\begin{array}{c}f(1)=1 \\ f(2)=4 \\ f(3)=11\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a+b+c=1 \\ 4 a+2 b+c=4 \\ 9 a+3 b+c=11\end{array} \Leftrightarrow\right.\right.$ $\left\{\begin{array}{c}a+b+c=1 \\ 3 a+b=3 \\ 5 a+b=7\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a=2 \\ b=-3 \\ c=2\end{array}\right.\right.$ Ответ: $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathbf{2 x}^{2}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}+\mathbf{2}$
  4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=2$ и $E C=1 .$ $A D \| B C$ и $A E-$ биссектриса угла $\mathrm{A} \Rightarrow \angle B E A=\angle E A D=\angle B A E$, а значит треугольник $A B E$ равнобедренный и $A B=B E=2$. Если ВН - высота параллелограмма, то из прямоугольного треугольника $\mathrm{ABH}$ находим, что $B H=\sqrt{3}$. И площадь равна $$ A D \cdot B H=(2+1) \sqrt{3}=3 \sqrt{3} \text {. } $$ Ответ: $3 \sqrt{3} .$
  5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C D .$ Известно, что $C D^{2}=A D \cdot D B$.\\ a) Докажите, что если точка $D$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный. б) Возможно ли такое соотношение в случае, если $D$ не лежит на отрезке $A B ?$ Если да - приведите пример, если нет - докажите, почему.\\ \\ 5 a) $C D^{2}=A D \cdot D B \Leftrightarrow \frac{C D}{A D}=\frac{D B}{C D}$, а поскольку еще и $\angle A D C=\angle C D B=90^{\circ}$, то $\triangle A D C$ подобен $\triangle C D B$. Отсюда $\angle A C D=\angle C B D=90^{\circ}-\angle B C D$, а значит $\angle C=\angle A C D+\angle B C D=90^{\circ}$.\\ 5б) Да, возможно. Например, если взять прямоугольный треугольник $C D B$ с катетами $C D=$ 2 и $D B=4$ и на его катете $D B$ отметить точку $A$ так, что $A D=1$, то треугольник $A B C$ будет тупоугольным с высотой $C D$, и соотношение $C D^{2}=A D \cdot D B$ выполняется.
  6. Решите неравенства: \\ а) $2|x-1| \geq 2-x ;$ \\ б) $\frac{2|x-1|}{2-x} \geq 1$.\\ \\ 6а) При $x \geq 1 \quad 2|x-1|=2 x-2$ и неравенство сводится к виду $2 x-2 \geq 2-x \Leftrightarrow x \geq \frac{4}{3}$, что удовлетворяет условию $x \geq 1$. При $x2$ неравенство не имеет решений, а при $x<2$ оно равносильно неравенству 6а), поскольку сводится к нему домножением на положительный знаменатель.\\ Ответ: $(-\infty ; 0] \cup\left[\frac{4}{3} ; 2\right)$
  7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x-1| \geq a-x$ выполнено при всех значения $x$?\\ Решение на координатной плоскости: прямая $y=a-x$ пересекает ось $\mathrm{OX}$ в точке с абсциссой $x=a$, а значит все ее точки будут находиться не выше графика функции $f(x)=2|x-1|$ при $a \leq 1$.\\ Ответ: $a \leq 1 .$\\
  8. \\ а) Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|2 a-b|$, если $-2 \leq a \leq 1$ и $1 \leq b \leq 5 .$\\ б) Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $x-y=2 .$\\ \\ 8a. $-2 \leq a \leq 1 \Leftrightarrow-4 \leq 2 a \leq 2, \quad 1 \leq b \leq 5 \Leftrightarrow-5 \leq-b \leq-1$, отсюда $-9 \leq 2 a-b \leq 1$, и окончательно получаем, что $0 \leq|2 a-b| \leq 9$\\ Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее $9 .$\\ 8б. $x-y=2 \Leftrightarrow y=x-2$ и $x^{2}+y^{2}=x^{2}+(x-2)^{2}=2 x^{2}-4 x+4=2(x-1)^{2}+2$. Отсюда наименьшее значение равно 2 при $x=1, y=-1$.\\ Ответ: $2 .$
  9. \\ а) Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+1 ; b=3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6+1 ; c=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10+1 .$\\ б) Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.\\ \\ 9a. $a=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+1=121=11^{2} ; \quad b=3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6+1=361=19^{2} ; c=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10+1=$ $5041=71^{2}$.\\ 9б. Можно заметить, что во всех этих примерах произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на единицу, является квадратом натурального числа. Докажем это. $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\left(n^{2}+3 n\right)\left(n^{2}+3 n+2\right)+1=\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}-1+1=$ $\left(n^{2}+3 n+1\right)^{2}$.
Материалы школы Юайти