ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2020 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2020 год

Вариант 1

1. 1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$;
   2. найдите все тройки натуральных чисел $(x ; y ; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=5$
2. 1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{7}) x+\sqrt{14}=0$.
   2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2 ?$
3. 1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой проходит через точку $C(1 ; 3)$ и пересекает ось ОХ в точках с абсциссами 2 и $-1 .$
   2. Лежат ли точки $A(1 ; 1), B(2 ; 4)$ и $C(3 ; 11)$ на графике одной квадратичной функции?
4. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$, в котором угол А равен $60^{\circ}$, а биссектриса $A E$ делит сторону $B C$ на отрезки $B E=2$ и $E C=1$.
5. В треугольнике $A B C$ проведена высота $C D .$ Известно, что $C D^{2}=A D \cdot D B$.
   1. Докажите, что если точка $D$ лежит на отрезке $A B$, то треугольник $A B C$ прямоугольный.
   2. Возможно ли такое соотношение в случае, если $D$ не лежит на отрезке $A B ?$ Если да приведите пример, если нет - докажите, почему.
6. Решите неравенства:
   1. $2|x-1| \geq 2-x$;
   2. $\frac{2|x-1|}{2-x} \geq 1$.
7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2|x-1| \geq a-x$ выполнено при всех значениях $x$?
8. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения $|2 a-b|$, если $-2 \leq a \leq 1 \quad$ и $\quad 1 \leq b \leq 5$.
   2. Найдите наименьшее значение выражения $x^{2}+y^{2}$, если $x-y=2$.
9. 1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $a=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+1 ; \quad b=3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6+1 ; \quad c=7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10+1 .$
   2. Обобщите имеющуюся закономерность и докажите ее.

Решения задач

1. 1. Разложите на множители выражение $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}$.
      Решение: Заметим, что первые три слагаемых образуют квадрат суммы:
      $x^{2} + 2xy + y^{2} - z^{2} = (x + y)^2 - z^2 = (x + y - z)(x + y + z)$.
      Ответ: $(x + y - z)(x + y + z)$.
      
      
   2. Найдите все тройки натуральных чисел $(x; y; z)$, для которых $x^{2}+2 x y+y^{2}-z^{2}=5$.
      Решение: Используем результат пункта (a):
      $(x + y - z)(x + y + z) = 5 \quad$ (так как $5$ — простое). Натуральными делителями 5 являются 1 и 5. Получаем систему:
      $\begin{cases} x + y - z = 1 \\ x + y + z = 5 \end{cases}$
      
      Складываем уравнения: $2(x + y) = 6 \Rightarrow x + y = 3$
      Вычитаем уравнения: $2z = 4 \Rightarrow z = 2$
      Натуральные решения $(x; y; z)$: $(1, 2, 2)$ и $(2, 1, 2)$.
      Ответ: $(1, 2, 2)$ и $(2, 1, 2)$.
   
   
   
2. 1. Решите уравнение $x^{2}-(\sqrt{2}+\sqrt{7}) x+\sqrt{14}=0$.
      Решение: По теореме Виета корни уравнения:
      $x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{7}$.
      Ответ: $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$.
      
      
   2. Какой из корней этого уравнения ближе к числу $2$?
      Решение: Вычислим расстояния до $2$:
      $|\sqrt{2} - 2| \approx 0.586$, $|\sqrt{7} - 2| \approx 0.646$.
      Ближе $\sqrt{2}$.
      Ответ: $\sqrt{2}$.
   
   
   
3. 1. Напишите уравнение квадратичной функции, график которой пересекает ось $OX$ в точках $x=2$ и $x=-1$ и проходит через точку $C(1; 3)$.
      Решение: Уравнение в виде $y = a(x - 2)(x + 1)$. Подставляем $x=1$, $y=3$:
      $3 = a(-1)(2) \Rightarrow a = -\frac{3}{2}$.
      Ответ: $y = -\frac{3}{2}(x^2 - x - 2)$ или $y = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 3$.
      
      
   2. Лежат ли точки $A(1; 1)$, $B(2; 4)$, $C(3; 11)$ на графике одной квадратичной функции?
      Решение: Предположим $y = ax^2 + bx + c$. Подставляем координаты точек и решаем систему:
      $\begin{cases} a + b + c = 1 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 11 \end{cases}$. Решая, получаем $a=2$, $b=-3$, $c=2$. Функция $y=2x^2 -3x +2$ проходит через все точки.
      Ответ: Да.
   
   
   
4. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, в котором угол $A$ равен $60^\circ$, а биссектриса $AE$ делит сторону $BC$ на отрезки $BE=2$ и $EC=1$.
   Решение: Используем свойство биссектрисы: $\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD}$. Поскольку $BE=2$, $EC=1$, то $AB = 2AD$. Стороны $AD=BC=BE + EC =3 \Rightarrow AB=6$. Площадь:
   $S = AB \cdot AD \cdot \sin60^\circ = 6 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.
   Ответ: $9\sqrt{3}$ см².
   
   
5. В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$. Известно, что $CD^{2} = AD \cdot DB$.
   1. Докажите, что если точка $D$ лежит на отрезке $AB$, то треугольник $ABC$ прямоугольный.
      Решение: По теореме высоты в прямоугольном треугольнике: если треугольник прямоугольный с прямым углом $C$, то $CD^{2}=AD \cdot DB$. Обратно, если данный равенство выполняется, то треугольник прямоугольный по признаку.
      
      
   2. Возможно ли такое соотношение, если $D$ не лежит на отрезке $AB$?
      Решение: Нет. Если $D$ вне отрезка $AB$, то произведения $AD \cdot DB$ и $CD^2$ имеют разные знаки (одно положительно, другое отрицательно), что невозможно.
      Ответ: Невозможно.
   
   
   
6. Решите неравенства:
   1. $\displaystyle 2|x-1| \geq 2 - x$
      Решение:
      Случай $x \geq 1$: $2(x-1) \geq 2 -x \Rightarrow x \geq \frac{4}{3}$
      Случай $x < 1$: $2(1 - x) \geq 2 -x \Rightarrow x \leq 0$
      Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$.
      
      
   2. $\displaystyle \frac{2|x-1|}{2 - x} \geq 1$
      Решение: Область определения: $x \neq 2$, $2 - x >0 \Rightarrow x < 2$. Используем результаты предыдущего неравенства с учётом $x<2$.
      Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{4}{3}, 2)$.
   
   
   
7. При каких значениях параметра $a$ неравенство $\displaystyle 2|x-1| \geq a - x$ выполнено при всех $x$?
   Решение: Рассмотрим функцию $f(x) = 2|x-1| + x$. Минимальное значение $f(x)$ равно 1 при $x=1$. Поэтому $a \leq 1$.
   Ответ: $a \leq 1$.
   
   
8. 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение $\displaystyle |2a - b|$ при $-2 \leq a \leq 1$, $1 \leq b \leq 5$.
      Решение: Минимизируем: $|2a - b| = 0$ при $a=1$, $b=2$. Максимизируем: при $a=-2$, $b=5$ получаем $| -4 -5 | = 9$.
      Ответ: Наименьшее 0, наибольшее 9.
      
      
   2. Найдите наименьшее значение $\displaystyle x^2 + y^2$, если $x - y = 2$.
      Решение: Подставляем $x = y +2$: $(y +2)^2 + y^2 = 2y^2 +4y +4 = 2(y +1)^2 +2$. Минимум при $y=-1$, $x=1$: $2$.
      Ответ: 2.
   
   
   
9. 1. Покажите, что данные числа являются квадратами натуральных чисел: $\displaystyle a = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 +1 = 121 =11^2$, $\displaystyle b =3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot6 +1 =361=19^2$, $\displaystyle c=7\cdot8\cdot9\cdot10 +1=5041=71^2$.
      
      
   2. Обобщите и докажите закономерность:
      Для натуральных чисел произведения вида $n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n^2+3n +1)^2$.
      Доказательство: Раскрываем скобки:
      $(n(n+3))((n+1)(n+2)) = (n^2 +3n)(n^2 +3n +2)$. Учитывая:
      $(n^2 +3n)(n^2 +3n +2) = (n^2 +3n)^2 +2(n^2 +3n)$.
      Тогда $(n^2 +3n +1)^2 = (n^2 +3n)^2 +2(n^2 +3n) +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1$.