ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2019 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2019 год

Вариант 2

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $20\%$ и один раз на $60\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
2. Вычислите: $\quad\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}\right) \cdot(\sqrt{12}-\sqrt{75})$.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-2 a+1}+\sqrt{a^{2}-8 a+16}$ и найдите его значение
   1. при $a=\frac{2}{7}$;
   2. при $a=\sqrt{3-\sqrt{2}}$.
4. Решите уравнения:
   1. $|x+1|=1-2 x$;
   2. $\frac{5 x}{1-x}=\frac{10 x}{x^{2}+x+1}+\frac{10 x^{2}+5 x}{1-x^{3}}$.
5. Решите неравенства:
   1. $\frac{2 x^{3}-3 x^{2}}{x+2} \geq 0$;
   2. $\frac{|2 x+1|}{x}<-1$.
6. В прямоугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ с катетами $\mathrm{AC}$ и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке $\mathrm{P}$, длина отрезка РС равна 1. Найдите
   1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$;
   2. площадь треугольника ABP;
   3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP.
7. 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+3 a-9=0$ имеет два различных корня?
   2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+3 a-9}{x-4}=0$ имеет единственное решение?

Решения задач

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $20\%$ и один раз на $60\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
   Решение: Первое снижение на $20\%$:
   $1000 \cdot (1 - 0,2) = 800$ руб.
   Второе снижение на $20\%$:
   $800 \cdot 0,8 = 640$ руб.
   Третье снижение на $60\%$:
   $640 \cdot (1 - 0,6) = 640 \cdot 0,4 = 256$ руб.
   Ответ: 256 рублей.
2. Вычислите: $\quad\left(\frac{1}{2+\sqrt{3}}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}\right) \cdot(\sqrt{12}-\sqrt{75})$.
   Решение: Упростим выражение в первых скобках:
   $\frac{1}{2+\sqrt{3}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{-2\sqrt{3}}{1} = -2\sqrt{3}$.
   Упростим вторую часть:
   $\sqrt{12} - \sqrt{75} = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$.
   Перемножим результаты:
   $-2\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) = 6 \cdot 3 = 18$.
   Ответ: 18.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-2 a+1}+\sqrt{a^{2}-8 a+16}$ и найдите его значение
   1. при $a=\frac{2}{7}$:
      Решение: Упростим выражение:
      $\sqrt{(a - 1)^2} + \sqrt{(a - 4)^2} = |a - 1| + |a - 4|$.
      При $a = \frac{2}{7}$:
      $| \frac{2}{7} - 1 | + | \frac{2}{7} - 4 | = \frac{5}{7} + \frac{26}{7} = \frac{31}{7}$.
      Ответ: $\frac{31}{7}$.
   2. при $a=\sqrt{3-\sqrt{2}}$:
      Решение: Оценим значение $a$:
      $\sqrt{3 - \sqrt{2}} \approx \sqrt{1.586} \approx 1.259$.
      Тогда:
      $|1.259 - 1| + |1.259 - 4| = 0.259 + 2.741 = 3$.
      Ответ: 3.
4. Решите уравнения:
   1. $|x+1|=1-2 x$:
      Решение: Рассмотрим два случая:
      1. $x + 1 \geq 0$:
      $x + 1 = 1 - 2x \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0$ (подходит).
      2. $x + 1 < 0$:
      $-x - 1 = 1 - 2x \Rightarrow x = 2$ (не подходит, так как $2 + 1 \geq 0$).
      Ответ: $x = 0$.
   2. $\frac{5 x}{1-x}=\frac{10 x}{x^{2}+x+1}+\frac{10 x^{2}+5 x}{1-x^{3}}$:
      Решение: Умножим обе части на $(1 - x)(x^2 + x + 1)$:
      $5x(x^2 + x + 1) = 10x(1 - x) + 10x^2 + 5x$.
      Упростим:
      $5x^3 + 5x^2 + 5x = 10x - 10x^2 + 10x^2 + 5x$.
      $5x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$.
      Проверка: $x = 0$ удовлетворяет уравнению.
      Ответ: $x = 0$.
5. Решите неравенства:
   1. $\frac{2 x^{3}-3 x^{2}}{x+2} \geq 0$:
      Решение: Разложим числитель:
      $x^2(2x - 3)$. Критические точки: $x = -2$, $x = 0$, $x = 1.5$.
      Метод интервалов:
      $x \in [-2, 0) \cup [1.5, +\infty)$.
      Ответ: $x \in [-2, 0) \cup [1.5, +\infty)$.
   2. $\frac{|2 x+1|}{x}<-1$:
      Решение: Так как левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, неравенство выполняется только при $x < 0$.
      Раскроем модуль:
      $|2x + 1| 0 \Rightarrow x < 0$.
      Решим неравенство:
      $-2x - 1 < -x \Rightarrow x < -1$.
      Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.
6. В прямоугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ с катетами $\mathrm{AC}$ и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке $\mathrm{P}$, длина отрезка РС равна 1. Найдите
   1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$:
      Решение: Пусть $AC = a$, тогда $BC = a\sqrt{3}$ (по свойству треугольника с углом $60^\circ$). По свойству биссектрисы:
      $\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2a}{a} = 2$.
      Так как $PC = 1$, то $BP = 2$, значит $BC = 3 = a\sqrt{3} \Rightarrow a = \sqrt{3}$.
      Площадь: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
      Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
   2. площадь треугольника ABP:
      Решение: $BP = 2$, высота $AC = \sqrt{3}$.
      Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
      Ответ: $\sqrt{3}$.
   3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP:
      Решение: Гипотенуза $AB = 2\sqrt{3}$.
      Радиус: $\frac{AB}{2} = \sqrt{3}$.
      Ответ: $\sqrt{3}$.
7. 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+3 a-9=0$ имеет два различных корня?
      Решение: Дискриминант:
      $D = a^2 - 4(3a - 9) = a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.
      Условие $D > 0$: $(a - 6)^2 > 0 \Rightarrow a \neq 6$.
      Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{6\}$.
   2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+3 a-9}{x-4}=0$ имеет единственное решение?
      Решение: Числитель должен иметь корень $x = 4$ или иметь один корень, отличный от 4.
      1. Если $x = 4$ является корнем числителя:
      $16 - 4a + 3a - 9 = 0 \Rightarrow a = 7$.
      При $a = 7$ уравнение имеет корень $x = 4$ и $x = 3$ (два решения).
      2. Если числитель имеет один корень (дискриминант равен 0):
      $(a - 6)^2 = 0 \Rightarrow a = 6$.
      При $a = 6$ корень $x = 3$ (единственное решение).
      3. Если корни совпадают с $x = 4$:
      Не выполняется, так как при $a = 7$ есть два корня.
      Ответ: $a = 6$.