ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2019 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2019 год

Вариант 1

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $40\%$ и один раз на $20\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
   1. при $a=-\frac{2}{7} ;$
   2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$.
4. Решите уравнения:
   1. $|x-1|=2 x+1$;
   2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$.
5. Решите неравенства:
   1. $\frac{2 x^{3}+3 x^{2}}{x-2} \geq 0$;
   2. $\frac{|3 x+2|}{x}<-1$.
6. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке Р, длина отрезка РВ равна 4. Найдите
   1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$;
   2. площадь треугольника ABP;
   3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP.
7. 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+a-1=0$ имеет два различных корня?
   2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+a-1}{x+5}=0$ имеет единственное решение?

Решения задач

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $40\%$ и один раз на $20\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
   Решение: Первое снижение на $40\%$: $1000 \cdot 0,6 = 600$ руб. Второе снижение на $40\%$: $600 \cdot 0,6 = 360$ руб. Третье снижение на $20\%$: $360 \cdot 0,8 = 288$ руб.
   Ответ: 288 рублей.
2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
   Решение: Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} - \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{-2\sqrt{5}}{9 - 5} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \] Упростим вторую часть: \[ \sqrt{5} + \sqrt{45} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] Перемножим результаты: \[ -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4\sqrt{5} = -2 \cdot 5 = -10 \] Ответ: -10.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
   1. при $a=-\frac{2}{7}$: \[ \sqrt{\left(-\frac{2}{7} - 2\right)^2} + \sqrt{\left(-\frac{2}{7} - 6\right)^2} = \left|\frac{-16}{7}\right| + \left|\frac{-44}{7}\right| = \frac{60}{7} \] Ответ: $\frac{60}{7}$.
   2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$: \[ \sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(a - 6)^2} = |a - 2| + |a - 6| \] Поскольку $2 < \sqrt{3+\sqrt{2}} < 6$, получаем: \[ (a - 2) + (6 - a) = 4 \] Ответ: 4.
4. Решите уравнения:
   1. $|x-1|=2 x+1$:
      Решение:
      • При $x \geq 1$: $x - 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = -2$ (не подходит).
      • При $x < 1$: $-(x - 1) = 2x + 1 \Rightarrow x = 0$.
      Ответ: $x = 0$.
   2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$:
      Решение: Умножим обе части на $(x+1)(x^2 - x + 1)$: \[ 6x(x^2 - x + 1) = 12x(x + 1) - (12x^2 - 6x) \] Упростим: \[ 6x^3 - 6x^2 + 6x = 12x^2 + 12x - 12x^2 + 6x \Rightarrow 6x^3 - 6x^2 - 12x = 0 \Rightarrow x(x^2 - x - 2) = 0 \] Корни: $x = 0$, $x = 2$, $x = -1$ (не подходит).
      Ответ: $x = 0$, $x = 2$.
5. Решите неравенства:
   1. $\frac{2 x^{3}+3 x^{2}}{x-2} \geq 0$:
      Решение: Нули числителя: $x = 0$ (кратность 2), $x = -\frac{3}{2}$. Знаменатель обращается в ноль при $x = 2$. Метод интервалов даёт решение: \[ x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [0; 2) \] Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [0; 2)$.
   2. $\frac{|3 x+2|}{x}<-1$:
      Решение: При $x < 0$ неравенство эквивалентно $|3x + 2| 0 \Rightarrow x < 0 \] \[ |3x + 2| |3x + 2| \] Решение: $x \in (-1; -\frac{1}{2})$.
      Ответ: $x \in (-1; -\frac{1}{2})$.
6. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС и ВС угол А равен $60^{\circ}$. Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке Р, длина отрезка РВ равна 4. Найдите:
   1. Площадь треугольника ABC:
      Решение: Пусть $BC = x$, тогда $AC = x\sqrt{3}$. По свойству биссектрисы: \[ \frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2x}{x\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow PC = 2\sqrt{3} \] Тогда $BC = 4 + 2\sqrt{3}$, $AC = (4 + 2\sqrt{3})\sqrt{3}$. Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (4 + 2\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3} + 6) = 14\sqrt{3} + 24 \] Ответ: $14\sqrt{3} + 24$.
   2. Площадь треугольника ABP:
      Решение: Используя отношение отрезков: \[ S_{ABP} = \frac{BP}{BC} \cdot S_{ABC} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3}} \cdot (14\sqrt{3} + 24) = 8\sqrt{3} + 12 \] Ответ: $8\sqrt{3} + 12$.
   3. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP:
      Решение: По формуле $R = \frac{abc}{4S}$: \[ AB = 8 + 4\sqrt{3}, \quad BP = 4, \quad AP = \sqrt{96 + 48\sqrt{3}}, \quad S = 8\sqrt{3} + 12 \] После упрощений: \[ R = \frac{(8 + 4\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \sqrt{96 + 48\sqrt{3}}}{4 \cdot (8\sqrt{3} + 12)} = 4 \] Ответ: 4.
7. 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+a-1=0$ имеет два различных корня?
      Решение: Дискриминант: \[ D = a^2 - 4(a - 1) = (a - 2)^2 > 0 \Rightarrow a \neq 2 \] Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
   2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+a-1}{x+5}=0$ имеет единственное решение?
      Решение: Корни числителя $x = 1$ и $x = a - 1$. Исключаем $x = -5$: \[ a - 1 = -5 \Rightarrow a = -4 \quad \text{или} \quad a = 2 \quad (\text{кратный корень}) \] Ответ: $a = -4$, $a = 2$.