ФМЛ №30 из 8 в 9 класс 2012 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2012 год

1. Выполните действия:
   1. $\left(30 \frac{1}{239}\right)^{2}-31 \frac{1}{239} \cdot 29 \frac{1}{239}$
   2. $(2-\sqrt{5}) \sqrt{18+8 \sqrt{5}}$
   3. $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
2. Сравните числа:
   1. $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ и $2 \sqrt{2}$
   2. $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ и $\sqrt{12}+\sqrt{11}$
3. Упростите:
   1. $\left(\frac{a^{3}-8}{a^{2}-4}-\frac{6 a}{a+2}\right):\left(1-\frac{4}{a+2}\right)^{2}$
   2. $\frac{b^{2}-1}{3 b^{2}-4 b+1} \cdot \frac{3 b-1}{b}-\frac{1}{b}$
   3. $\frac{\sqrt{-a b^{2}}-\sqrt{a^{2} b}}{a b}-\frac{1}{\sqrt{b}}$
   4. $\frac{\sqrt{x}+1}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}: \frac{1}{x^{2}-\sqrt{x}}$
4. Решите уравнения:
   1. $x^{3}+x^{2}-4 x-4=0$
   2. $2 x^{2}-3 x-4=2(1+\sqrt{2})^{2}-3(1+\sqrt{2})-4$
   3. $\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-2 x^{2}+4 x=3$
   4. $|x-7|+\left|x^{2}-5\right|=x-4$
5. Решите неравенства:
   1. $-\frac{1}{2} x^{2}+2,5 x-3 \geqslant 0$
   2. $\frac{4}{x^{2}-x-6} \geqslant \frac{1}{2+x}$
   3. $\frac{x^{2}-2 x-8}{x-4} \leqslant 7$
   4. $\left|x^{2}-3\right|<|3-x|$
6. Решите системы уравнений:
   1. $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=\frac{3}{4} \\ y^{2}+x=0,75\end{array}\right.$
   2. $\left\{\begin{array}{l}\frac{6}{x+y}+\frac{5}{x-y}=7 \\ \frac{3}{x+y}-\frac{2}{x-y}=-1\end{array}\right.$
   3. Найдите все значения параметра $k$, при которых следующая система имеет бесконечно много решений. $$ \left\{\begin{array}{l} (k+2) x+3 y=9+k x \\ x+(k+4) y=2 \end{array}\right. $$
7. 1. Найдите все значения параметра $a$, при которых следующее уравнение имеет ровно одно решение. $$ \left(a x^{2}+3 x+1\right)(x-3)=(x-3) $$
   2. Найдите все значения параметра $a$, при которых сумма корней следующего уравнения отрицательна. $$ x^{2}-\left(a^{2}-5 a\right) x+4=0 $$
   3. Пусть $x_{1}, x_{2}-$ корни уравнения $2 x^{2}-7 x+4=0 .$ Не решая это уравнение, найдите: $$ \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}} $$
8. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $$ 7 x^{2}-2 x+4 a=0 $$
   1. имеет корень, равный $3 .$
   2. имеет два различных вещественных корня.
   3. имеет только положительные корни.
   4. не имеег отрицательных корней.
9. 1. Найдите значения параметров $a, b, c$ такие, что точка $A(0 ; 4)$ лежит на параболе $y=a x^{2}+b x+c$, а точка $N(-1 ; 6)-$ вершина этой параболы.
   2. Постройте график функции $y=\sqrt{(1-2 x)^{2}}-3$ и найдите радиус окружности, описанной около треугольника, отсекаемого осью Ох от этого графика.
   3. Найдите уравнения всех прямых, которые проходят через начало координат и имеют единственную общую точку с графиком функции $y=(x-1)^{2} .$
   4. Найдите все значения $b$ такие, что функция $y=b x^{2}-6 x+3$ имеет наименьшее значение, и это значение меньше, чем 2,5.
10. 1. $A B C D-$ выпуклый четырехугольник, $O-$ точка пересечения его диагоналей, $O B=O D, A O\angle B C D .$
    2. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 4 , а длина медианы, проведенной к боковой стороне равна 5. Найдите площадь треугольника.
    3. Отрезки, соединяющие середины противоноложных сторон выпуклого четырехугольника равны, длины диагоналей этого четырехугольника равны 6 и $8 .$ Найдите площадь четырехугольника.
11. В трапеции $A B C D(A D \| B C) \angle A=60^{\circ}, \angle D=30^{\circ}, A D=a, B C=b$. Найдите:
    1. площадь трапеции $A B C D$,
    2. длину отрезка, соединяющего середины $B C$ и $A D .$
12. 1. Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $19 a=97 b .$ Докажите, что их сумма $(a+b)$ делится на $116 .$
    2. Найдите $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$, если $a+b+c=7$ и $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}=\frac{7}{10}$
    3. Найдите все целые значения $n$ такие, что $\sqrt{n^{2}-17}-$ целое число.
    4. Найдите количество различных делителей числа $6^{15} \cdot 21^{7}$

Решения задач

1. Выполните действия:
   1. $\left(30 \frac{1}{239}\right)^{2}-31 \frac{1}{239} \cdot 29 \frac{1}{239}$
      Решение: Представим числа в виде $a = 30 + \frac{1}{239}$. Тогда выражение примет вид:
      $a^2 - (a+1)(a-1) = a^2 - (a^2 - 1) = 1$
      Ответ: 1.
      
      
   2. $(2-\sqrt{5}) \sqrt{18+8 \sqrt{5}}$
      Решение: Упростим подкоренное выражение:
      $\sqrt{18+8\sqrt{5}} = \sqrt{(2+\sqrt{5})^4} = (2+\sqrt{5})^2 = 9 + 4\sqrt{5}$
      Тогда исходное выражение:
      $(2-\sqrt{5})(9+4\sqrt{5}) = 18 + 8\sqrt{5} - 9\sqrt{5} - 20 = -2 - \sqrt{5}$
      Ответ: $-2 - \sqrt{5}$.
      
      
   3. $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
      Решение: Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
      $\frac{(\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}}}{2}$
      Упрощаем корни:
      $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}$, $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$
      Подставляем:
      $\frac{(1+\sqrt{3}) - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
      Ответ: 1.
   
   
   
2. Сравните числа:
   1. $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ и $2 \sqrt{2}$
      Решение: Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}+\sqrt{2}$:
      $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \approx 1.732 + 1.414 = 3.146$
      $2\sqrt{2} \approx 2.828$
      Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} > 2\sqrt{2}$.
      
      
   2. $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ и $\sqrt{12}+\sqrt{11}$
      Решение: Возведем обе части в квадрат:
      Левый: $10 + 13 + 2\sqrt{130} = 23 + 2\sqrt{130} \approx 23 + 22.8 = 45.8$
      Правый: $12 + 11 + 2\sqrt{132} = 23 + 2\sqrt{132} \approx 23 + 22.98 = 45.98$
      Ответ: $\sqrt{10}+\sqrt{13} < \sqrt{12}+\sqrt{11}$.
   
   
   
3. Упростите:
   1. $\left(\frac{a^{3}-8}{a^{2}-4}-\frac{6 a}{a+2}\right):\left(1-\frac{4}{a+2}\right)^{2}$
      Решение: Разложим числитель первой дроби:
      $\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{(a-2)(a+2)} - \frac{6a}{a+2} = \frac{a^2+2a+4 - 6a}{a+2} = \frac{a^2-4a+4}{a+2} = \frac{(a-2)^2}{a+2}$
      Знаменатель:
      $\left(\frac{a+2-4}{a+2}\right)^2 = \left(\frac{a-2}{a+2}\right)^2$
      Итоговое выражение:
      $\frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2} = a+2$
      Ответ: $a+2$.
      
      
   2. $\frac{b^{2}-1}{3 b^{2}-4 b+1} \cdot \frac{3 b-1}{b}-\frac{1}{b}$
      Решение: Разложим числитель и знаменатель:
      $\frac{(b-1)(b+1)}{(3b-1)(b-1)} \cdot \frac{3b-1}{b} - \frac{1}{b} = \frac{b+1}{b} - \frac{1}{b} = \frac{b}{b} = 1$
      Ответ: 1.
      
      
   3. $\frac{\sqrt{-a b^{2}}-\sqrt{a^{2} b}}{a b}-\frac{1}{\sqrt{b}}$
      Решение: Учитывая область определения ($a 0$):
      $\frac{|b|\sqrt{-a} - |a|\sqrt{b}}{ab} - \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{-b\sqrt{-a} + a\sqrt{b}}{ab} - \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{-a}}{a} - \frac{1}{\sqrt{b}}$
      Ответ: $-\frac{\sqrt{-a}}{a} - \frac{1}{\sqrt{b}}$.
      
      
   4. $\frac{\sqrt{x}+1}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}: \frac{1}{x^{2}-\sqrt{x}}$
      Решение: Упростим знаменатель первой дроби:
      $x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)$
      Преобразуем выражение:
      $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot (x^2 - \sqrt{x}) = \frac{(\sqrt{x}+1)(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} = x - \sqrt{x}$
      Ответ: $x - \sqrt{x}$.
   
   
   
4. Решите уравнения:
   1. $x^{3}+x^{2}-4x-4=0$
      Решение: Группируем слагаемые:
      $(x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x+1)(x^2-4) = 0$
      Корни: $x = -1$, $x = 2$, $x = -2$
      Ответ: $-2$, $-1$, $2$.
      
      
   2. $2x^{2}-3x-4=2(1+\sqrt{2})^{2}-3(1+\sqrt{2})-4$
      Решение: Упростим правую часть:
      $2(3 + 2\sqrt{2}) - 3 - 3\sqrt{2} - 4 = 6 + 4\sqrt{2} - 7 - 3\sqrt{2} = -1 + \sqrt{2}$
      Уравнение принимает вид:
      $2x^2 - 3x - 4 = -1 + \sqrt{2}$
      $2x^2 - 3x - 3 - \sqrt{2} = 0$
      Дискриминант: $9 + 8(3 + \sqrt{2}) = 33 + 8\sqrt{2}$
      Ответ: $x = \frac{3 \pm \sqrt{33 + 8\sqrt{2}}}{4}$.
      
      
   3. $\left(x^{2}-2x\right)^{2}-2x^{2}+4x=3$
      Решение: Замена $y = x^2 - 2x$:
      $y^2 - 2y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$ или $y = -1$
      Возвращаемся к исходной переменной:
      $x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$, $x = -1$
      $x^2 - 2x = -1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
      Ответ: $-1$, $1$, $3$.
      
      
   4. $|x-7|+\left|x^{2}-5\right|=x-4$
      Решение: Рассмотрим случаи:
      1) $x \geq 7$: $x - 7 + x^2 - 5 = x - 4 \Rightarrow x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt{2}$ (не подходит)
      2) $\sqrt{5} \leq x < 7$: $7 - x + x^2 - 5 = x - 4 \Rightarrow x^2 - 2x + 6 = 0$ (нет решений)
      3) $x < \sqrt{5}$: $7 - x + 5 - x^2 = x - 4 \Rightarrow x^2 + 2x - 16 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{17}$
      Проверка: подходит $x = -1 + \sqrt{17} \approx 3.12 < \sqrt{5} \approx 2.24$ — не подходит
      Ответ: Нет решений.
   
   
   
5. Решите неравенства:
   1. $-\frac{1}{2}x^{2}+2.5x-3 \geqslant 0$
      Решение: Умножим на -2:
      $x^2 - 5x + 6 \leq 0 \Rightarrow (2)(x-2)(x-3) \leq 0 \Rightarrow x \in [2, 3]$
      Ответ: $[2; 3]$.
      
      
   2. $\frac{4}{x^{2}-x-6} \geqslant \frac{1}{2+x}$
      Решение: Приведем к общему знаменателю:
      $\frac{4}{(x-3)(x+2)} - \frac{1}{x+2} \geq 0 \Rightarrow \frac{4 - (x-3)}{(x-3)(x+2)} \geq 0 \Rightarrow \frac{-x+7}{(x-3)(x+2)} \geq 0$
      Метод интервалов: $x \in (-2; 3) \cup [7; +\infty)$
      Ответ: $(-2; 3) \cup [7; +\infty)$.
      
      
   3. $\frac{x^{2}-2x-8}{x-4} \leqslant 7$
      Решение: Упростим дробь:
      $\frac{(x-4)(x+2 = x+ = x+ = x+2$ при $x \neq 4$
      Неравенство: $x+2 \leq 7 \Rightarrow x \leq 5$ с учетом $x \neq 4$
      Ответ: $(-\infty; 4) \cup (4; 5]$.
      
      
   4. $\left|x^{2}-3\right| < |3-x|$
      Решение: Возведем обе части в квадрат:
      $(x^2-3)^2 < (3-x)^2 \Rightarrow x^4 - 6x^2 + 9 < x^2 - 6x + 9 \Rightarrow x^4 - 7x^2 + 6x < 0$
      Факторизуем: $x(x^3 - 7x + 6) = x(x-1)(x-2)(x+3) < 0$
      Метод интервалов: $x \in (-3; 0) \cup (1; 2)$
      Ответ: $(-3; 0) \cup (1; 2)$.
   
   
   
6. Решите системы уравнений:
   1. $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-y=\frac{3}{4} \\ y^{2}+x=0.75\end{array}\right.$
      Решение: Выразим $y = x^2 - \frac{3}{4}$ и подставим во второе уравнение:
      $(x^2 - \frac{3}{4})^2 + x = \frac{3}{4}$
      Раскрываем скобки: $x^4 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{16} + x - \frac{3}{4} = 0$
      Упрощаем: $x^4 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{3}{16} = 0$ (решается подбором корней)
      Ответ: $(1; \frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.
      
      
   2. $\left\{\begin{array}{l}\frac{6}{x+y}+\frac{5}{x-y}=7 \\ \frac{3}{x+y}-\frac{2}{x-y}=-1\end{array}\right.$
      Решение: Введем замену $u = \frac{1}{x+y}$, $v = \frac{1}{x-y}$:
      $\left\{\begin{array}{l}6u + 5v = 7 \\ 3u - 2v = -1\end{array}\right.$
      Решаем систему: $u = \frac{1}{3}$, $v = 1$
      Возвращаемся к исходным переменным: $x+y = 3$, $x-y = 1$
      Ответ: $(2; 1)$.
      
      
   3. Система имеет бесконечно много решений при условии пропорциональности коэффициентов:
      $\frac{k+2}{k} = \frac{3}{k+4} = \frac{9+kx}{2}$
      Из первого равенства: $(k+2)(k+4) = 3k \Rightarrow k^2 + 3k + 8 = 0$ (нет действительных корней)
      Ответ: Нет таких значений $k$.
   
   
   
7. 1. Уравнение $(ax^2 + 3x + 1)(x-3) = (x-3)$
      Решение: При $x \neq 3$: $ax^2 + 3x + 1 = 1 \Rightarrow ax^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(ax + 3) = 0$
      Единственное решение при $a = 0$ (только $x=3$)
      Ответ: $a = 0$.
      
      
   2. Сумма корней уравнения $x^2 - (a^2 - 5a)x + 4 = 0$ равна $a^2 - 5a$
      Условие: $a^2 - 5a < 0 \Rightarrow a(a-5) < 0 \Rightarrow a \in (0; 5)$
      Ответ: $(0; 5)$.
      
      
   3. $\frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_1} = \frac{x_1^3 + x_2^3}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)}{x_1x_2}$
      По теореме Виета: $x_1 + x_2 = \frac{7}{2}$, $x_1x_2 = 2$
      Подставляем: $\frac{(\frac{7}{2})^3 - 3 \cdot 2 \cdot \frac{7}{2}}{2} = \frac{343}{8} - \frac{21}{2} = \frac{343 - 84}{8} = \frac{259}{8} = 32.375$
      Ответ: $\frac{259}{8}$.
   
   
   
8. Уравнение $7x^2 - 2x + 4a = 0$:
   1. Корень $x=3$: $7 \cdot 9 - 6 + 4a = 0 \Rightarrow 63 - 6 + 4a = 0 \Rightarrow 4a = -57 \Rightarrow a = -\frac{57}{4}$
      Ответ: $a = -\frac{57}{4}$.
      
      
   2. Дискриминант $D = 4 - 112a > 0 \Rightarrow a < \frac{1}{28}$
      Ответ: $a < \frac{1}{28}$.
      
      \
   3. Корни положительны при $x_1 + x_2 = \frac{2}{7} > 0$ и $x_1x_2 = \frac{4a}{7} > 0 \Rightarrow a > 0$ и $a < \frac{1}{28}$
      Ответ: $0 < a < \frac{1}{28}$.
      
      
   4. Нет отрицательных корней при $x_1 + x_2 > 0$ и $x_1x_2 \geq 0 \Rightarrow a \geq 0$
      Ответ: $a \geq 0$.
   
   
   
9. 1. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через $A(0;4)$: $c = 4$
      Вершина в $N(-1;6)$: $-b/(2a) = -1 \Rightarrow b = 2a$
      Подставляем вершину: $6 = a(-1)^2 + 2a(-1) + 4 \Rightarrow 6 = a - 2a + 4 \Rightarrow -a = 2 \Rightarrow a = -2$, $b = -4$
      Ответ: $a=-2$, $b=-4$, $c=4$.
      
      
   2. Функция $y = |1-2x| - 3$. График — V-образный с вершиной при $x=0.5$. Треугольник с вершинами $(2;0)$, $(-1;0)$, $(0.5;-3)$. Радиус описанной окружности: $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.
      
      
   3. Прямые $y = kx$ касаются параболы $y = (x-1)^2$. Условие касания: уравнение $(x-1)^2 = kx$ имеет один корень. Дискриминант $k^2 - 4k + 4 = 0 \Rightarrow k = 2$
      Ответ: $y = 2x$.
      
      
   4. Наименьшее значение квадратичной функции: $y_{min} = 3 - \frac{36}{4b} = 3 - \frac{9}{b} 0.5 \Rightarrow b > 18$
      Ответ: $b > 18$.
   
   
   
10. 1. В четырехугольнике с равными отрезками $OB=OD$ и $AO < OC$ следует, что треугольник $ABD$ имеет большую площадь, чем $CBD$, что приводит к неравенству углов.
    2. В равнобедренном треугольнике с основанием 4 и медианой 5 к боковой стороне: применяем теорему косинусов для треугольника, образованного медианой. Ответ: площадь 12. \
    3. Площадь четырехугольника с диагоналями 6 и 8 и равными средними линиями: площадь равна 24.
    
    
    
11. Трапеция $ABCD$:
    1. Площадь: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где высота $h = \frac{a-b}{2}(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})$
       Ответ: $\frac{(a^2 - b^2)}{4}(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
       
       
    2. Длина средней линии: $\frac{a+b}{2}$.
    
    
    
12. 1. Из равенства $19a = 97b$ следует, что $a = 97k$, $b = 19k$, тогда $a+b = 116k$ делится на 116.
    2. Используя условия $a+b+c=7$ и $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} = \frac{7}{10}$, получаем ответ 49/10.
    3. Уравнение $\sqrt{n^2 - 17} = m$: $n^2 - m^2 = 17 \Rightarrow (n-m)(n+m) = 17$. Решения: $n=9$, $n=-9$.
    4. Количество делителей $6^{15} \cdot 21^7 = 2^{15} \cdot 3^{22} \cdot 7^7$: $(15+1)(22+1)(7+1) = 16 \cdot 23 \cdot 8 = 2944$.