ФМЛ №30 из 7 в 8 класс 2020 год

ЛИЦЕЙ №30 (СПБ)

2020 год

2 тур

1. Разделите 90 на две части так, чтобы $40 \%$ одной части были на 15 больше, чем $30 \%$ другой части.
2. Точки $A, B$ и С лежат на одной прямой, причем точка С расположена вдвое дальше от одной из точек $A$ и $B$, чем от другой. Найдите $A B$, если $A C=18 .$
3. Разложите многочлен на множители: $x^{2} y+x y^{2}+x^{2} z+x z^{2}+y^{2} z+y z^{2}+3 x y z$.
4. 1. Упростите выражение $f(x)=\left(\frac{x}{x^{2}+2 x+4}+\frac{x^{2}+8}{x^{3}-8}-\frac{1}{x-2}\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-\frac{2}{2-x}\right)$.
   2. Постройте график функции $y=\frac{1}{f(x)}$
5. Сравните: $\frac{11}{14}$ и $\frac{55}{71}$.
6. В треугольнике $A B C \angle A=40, \angle C=90^{\circ} .$ Определите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины угла $C$.
7. Каково наименьшее натуральное число $n$, такое, что $n !$ делится на 990 ? $(n !=1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots \cdot n$, для всех натуральных $n)$
8. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник $A B C$ по его стороне $a$, сумме сторон $b+c$ и высоте, проведённой к стороне $c .$

1. 30;60
2. 54;27;18;9
3. y=x+2
4. >
5. 10
6. 11

Решения задач

1. Разделите 90 на две части так, чтобы $40 \%$ одной части были на 15 больше, чем $30 \%$ другой части.
   Решение: Пусть первая часть равна $x$, тогда вторая часть равна $90 - x$. По условию:
   $0,4x = 0,3(90 - x) + 15$
   $0,4x = 27 - 0,3x + 15$
   $0,7x = 42$
   $x = 60$
   Вторая часть: $90 - 60 = 30$
   Проверка: $40% \cdot 60 = 24$, $30% \cdot 30 = 9$, $24 - 9 = 15$ — верно.
   Ответ: 60 и 30.
2. Точки $A, B$ и С лежат на одной прямой, причем точка С расположена вдвое дальше от одной из точек $A$ и $B$, чем от другой. Найдите $A B$, если $A C=18 .$
   Решение: Возможны два случая:
   1) $AC = 2BC$: Тогда $BC = \frac{AC}{2} = 9$, $AB = AC + BC = 18 + 9 = 27$.
   2) $BC = 2AC$: Тогда $BC = 2 \cdot 18 = 36$, $AB = BC - AC = 36 - 18 = 18$.
   Ответ: 27 или 18.
3. Разложите многочлен на множители: $x^{2} y+x y^{2}+x^{2} z+x z^{2}+y^{2} z+y z^{2}+3 x y z$.
   Решение: Группируем слагаемые:
   $(x^2y + xy^2 + xyz) + (x^2z + xz^2 + xyz) + (y^2z + yz^2 + xyz)$
   Выносим общие множители:
   $xy(x + y + z) + xz(x + z + y) + yz(y + z + x) = (x + y + z)(xy + xz + yz)$
   Ответ: $(x + y + z)(xy + yz + zx)$.
4. 1. Упростите выражение $f(x)=\left(\frac{x}{x^{2}+2 x+4}+\frac{x^{2}+8}{x^{3}-8}-\frac{1}{x-2}\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{x^{2}-4}-\frac{2}{2-x}\right)$.
      Решение: Упростим первую скобку:
      $\frac{x}{x^2 + 2x + 4} + \frac{x^2 + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x(x - 2) + x^2 + 8 - (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{1}{x^2 + 2x + 4}$
      Вторая скобка:
      $\frac{x^2}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{2}{x - 2} = \frac{x^2 + 2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)}$
      Итог: $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 4} \cdot \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x^2 - 4}$
      Ответ: $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$.
   2. Постройте график функции $y=\frac{1}{f(x)}$
      Решение: $y = x^2 - 4$. График — парабола с вершиной в $(0, -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось $x$ в точках $x = \pm 2$.
      Ответ: График параболы $y = x^2 - 4$.
5. Сравните: $\frac{11}{14}$ и $\frac{55}{71}$.
   Решение: Приведём к общему числителю:
   $\frac{11}{14} = \frac{55}{70}$, $\frac{55}{70} > \frac{55}{71}$, так как при равных числителях меньше знаменатель даёт большую дробь.
   Ответ: $\frac{11}{14} > \frac{55}{71}$.
6. В треугольнике $A B C \angle A=40^{\circ}, \angle C=90^{\circ} .$ Определите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины угла $C$.
   Решение: В прямоугольном треугольнике медиана $CM = \frac{1}{2}AB$. Высота $CH$ делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам. Угол между $CM$ и $CH$ равен разности углов:
   $\angle MCB = 50^{\circ}$, $\angle HCB = 40^{\circ}$, разность $50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$.
   Ответ: $10^{\circ}$.
7. Каково наименьшее натуральное число $n$, такое, что $n !$ делится на 990 ?
   Решение: Разложим 990: $990 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$. Наименьшее $n$, содержащее все эти множители — $11$, так как $11$ — простое число, входящее в разложение.
   Ответ: 11.
8. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник $A B C$ по его стороне $a$, сумме сторон $b+c$ и высоте, проведённой к стороне $c .$
   Решение:
   1. Построим отрезок $BC = a$.
   2. Проведём прямую $l$ параллельно $BC$ на расстоянии высоты $h_c$.
   3. Построим окружность радиусом $b + c$ с центром в $B$.
   4. Точка пересечения окружности с прямой $l$ даст вершину $A$.
   5. Соединим точки $A$, $B$, $C$.
   Ответ: Построение выполнено согласно алгоритму.